अधिकतम व्यायाम (सेट थ्योरी)।

Question

चलो $A$ तथा $B$ आंशिक रूप से सेट किए गए आदेश दें, और दें $f:A→B$सख्ती से कार्य बढ़ रहा है। साबित करो कि अगर$b$ का अधिकतम तत्व है $B$ , फिर प्रत्येक $f^*(b)$ A का एक अधिकतम तत्व है।

मैंने बेरुखी से तर्क देने की कोशिश की, मैंने मान लिया $ f ^ * (b) $ का एक अधिकतम तत्व नहीं है $ A $, लेकिन मैं एक तत्व की तुलना नहीं कर सकता $ a $ के सबसेट के साथ $ A $, जबसे $ f ^ * ( b) = f ^ {- 1} (\{b\}) $ ()$ f ^ *(b)$ का सबसेट है $ A $) मैं नहीं जानता कि तुलना कैसे करें $ f ^ * (b) $ के कुछ तत्व के साथ $ A $ उस का उपयोग करने के लिए $ f $ यह बढ़ रहा है।

Answer 1

"लेकिन मैं A के सबसेट के साथ एक तत्व की तुलना नहीं कर सकता"

हाँ आप कर सकते हैं।

क्योंकि का एक तत्व$a\in f^*(b)$एक प्रतिनिधि तत्व हो सकता है । साबित करो कि अगर$a\in f^*(b)$ तब फिर $a$ में अधिकतम होना चाहिए $A$.... जैसा $a$ में पूरी तरह से मनमाना था $f^{*}(b)$यह सच होना चाहिए कि सभी की elemetns$f^*(b)$ अधिकतम हैं।

और, हाँ, विरोधाभास द्वारा एक सबूत जाने का एक शानदार तरीका है।

मान लीजिये $a\in f^*(b)$ तोह फिर $f(a) = b$। और मान लो$a$है नहीं तो वहाँ है एक अधिक से अधिक ए में$c \in A$ ताकि $c > a$।

फिर......

$f(c) > f(a)=b$ इसलिये $f$यह बढ़ रहा है। इसलिए$f(c) > b$।

Answer 2

लेना $x \in f^*(b)$। अगर$x \leq y$, हमारा लक्ष्य यह साबित करना है कि $x=y$। लागू$f$ पाने के लिए $b \leq f(y)$। जबसे$b$ अधिकतम है, $b =f(y)$। अभी,$x\leq y$ इसका मतलब है कि या तो $x<y$ या $x=y$। पहला मामला असंभव है, क्योंकि$f$किया जा रहा है कड़ाई से करने के लिए नेतृत्व करेंगे बढ़ रही है$b<b$। इस प्रकार यह होना चाहिए$x=y$।