अगर $\lambda = \sum k_i \alpha_i$ तथा $P_\lambda \subseteq \cup_{\alpha \in \Phi} P_\alpha \implies \lambda = c\alpha$ कुछ के लिए $\alpha \in \Phi$।
यह लाई अल्जेब्रस पर हम्फ्रीज़ पुस्तक में 10.10 का एक अभ्यास है।
चलो $\Phi$ यूक्लिडियन स्पेस में पड़ी जड़ प्रणाली हो $E$ और जाने $\Delta = \{\alpha_1,\cdots,\alpha_\ell\}$ के लिए एक आधार हो $\Phi$। चलो$\lambda = \sum_i k_i \alpha_i$ सबके साथ $k_i\geq 0$ या सभी $k_i\leq 0, k_i \in \mathbb Z.$ सिद्ध है कि या तो $\lambda$ एक रूट का एक (संभवतः 0) है, या फिर वहां मौजूद है $\sigma \in \mathscr W$ (वेइल समूह) ऐसा $\sigma \lambda = \sum_i k_i'\alpha_i$ कुछ के साथ $k_i'>0$ और कुछ $k_i'<0$।
वह निम्नलिखित टिप देता है: यदि $\lambda$ किसी भी जड़ का एक बहु नहीं है, तो हाइपरप्लेन है $P_\lambda$ के लिए orthogonal $\lambda$ में शामिल नहीं है $\bigcup_{\alpha \in \Phi} P_\alpha$। लेना$\mu \in P_\lambda \setminus \bigcup P_\alpha$ और फिर खोजें $\sigma \in \mathscr W$ जिसके लिए सभी $(\alpha_i,\sigma\mu)>0$।
मैं प्रमाणित नहीं कर सका है कि$P_\lambda \not \subseteq \bigcup P_\alpha$, आखिरकार मैं इस प्रकार से व्यायाम को पूरा करने में कामयाब रहा। कोई भी ऐसा लेना$\mu$, क्योंकि हर बिंदु में $E$ है $\mathscr W$मौलिक वीइल चैम्बर में एक बिंदु पर स्थित, वहां मौजूद है $\sigma \in \mathscr W$ संतोषजनक $(\sigma\mu, \alpha_i)>0$जैसा दावा किया गया है। विशेष रूप से, प्रत्येक$\sigma \alpha_i \in \Phi$, इसलिए हम लिख सकते हैं $\sigma\lambda = \sum k_i' \alpha_i$ कुछ (संभवतः नए) पूर्णांकों के लिए $k_i'$। अभी,$\mu \in P_\lambda$, इसलिए
$$ 0 = (\mu,\lambda ) = (\sigma\mu, \sigma \lambda) = \sum k_i'(\sigma\mu,\alpha_i)$$ तात्पर्य है कि कुछ $k_i'>0$ और कुछ $k_i'<0$, शर्तों के रूप में $(\sigma\mu ,\alpha_i)$ सभी सकारात्मक हैं
सवाल तो यह है: कि साबित करने के लिए कैसे$P_\lambda \not\subseteq \bigcup P_\alpha$? मैंने अब तक की गई सभी गणनाओं को बेकार, सामान की तरह किया$0 = (\lambda,x) = \sum k_i (\alpha_i,x)$कुछ भी नहीं कर सकते। मैंने भी सरल शुरुआत करने की कोशिश की $P_\lambda \subset P_\alpha \implies \lambda = c\alpha$ सपोसिग द्वारा $\lambda - c\alpha\neq 0$ तथा $P_\lambda \subseteq P_\alpha$, लेकिन वह केवल चिल्लाता है $P_\lambda \subseteq P_{\lambda - c\alpha}$।
कोई मदद? धन्यवाद।
जवाब
लेम्मा : यदि$H, H_1, ... H_r$ हाइपरप्लेन हैं (यानी $(n-1)$कुछ में) (आयामी उप-स्थान) $n$एक अनंत क्षेत्र पर आयामी अंतरिक्ष, और $H \subseteq \bigcup_{i=1}^n H_i$, फिर $H = H_j$ कुछ के लिए $1 \le j \le r$।
प्रमाण : धारणा से हमारे पास है
$$H = H \cap \left( \bigcup_{i=1}^r H_i \right) = \bigcup_{i=1}^r (H \cap H_i).$$
अब किसी भी दो हाइपरप्लेन के चौराहे का आयाम है $n-2$जब तक दो हाइपरप्लेन बराबर नहीं होते। लेकिन अगर RHS पर संघ के सभी रिक्त स्थान हैं$(n-2)$- आयामी, उनका संघ नहीं हो सकता$(n-1)$एलएचएस पर -आयामी अंतरिक्ष । QED।
इसे अपनी समस्या पर लागू करने के लिए: यदि $P_\lambda \subseteq \bigcup P_\alpha$, तो लेम्मा द्वारा एक जड़ है $\alpha$ ऐसा है कि $P_\lambda = P_\alpha$, इसके फलस्वरूप $\langle \lambda \rangle = P_\lambda^\perp = P_\alpha^\perp = \langle \alpha\rangle$, अर्थात $\lambda$ एक स्केलर मल्टीपल है $\alpha$।