औसत का उत्पाद
लश्कर $(x_1,...,x_n)$ तथा $(y_1,...,y_n)$ सकारात्मक वास्तविक के दो अलग-अलग tuples हो $x_1\times\dots\times x_n=y_1\times\dots\times y_n = c$। क्या यह सही है$$\left(\frac{x_1+y_1}{2}\right)\times\cdots\times \left(\frac{x_n+y_n}{2}\right) > c?$$
मुझे लगता है कि इसे एक सहमति तर्क से चलना चाहिए, शायद कार्य पर $f(x_1,...,x_n) = x_1\times\cdots\times x_n$, लेकिन निश्चित नहीं कि वास्तव में कैसे।
जवाब
गणित और ज्यामितीय माध्य के बीच असमानता को कहा गया है कि$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{x y}$ के लिये $x, y \ge 0$समानता के साथ अगर और केवल अगर $x=y$।
यह इस प्रकार है कि $$ \prod_{k=1}^n \frac{x_k+y_k}{2} \ge \prod_{k=1}^n \sqrt{x_k y_k} = \sqrt{\prod_{k=1}^n x_k \cdot \prod_{k=1}^n y_k} = c $$ समानता के साथ अगर और केवल अगर $(x_1, \ldots, x_n) = (y_1, \ldots, y_n)$।
यदि आप एक सहमति तर्क का उपयोग करना चाहते हैं तो विचार करें $$ g(x_1, \ldots, x_n) = \log x_1 + \ldots + \log x_n \, . $$ $g$ अवतल कार्य के योग के रूप में अवतल है।
धारक द्वारा $$\prod_{k=1}^n\frac{x_k+y_k}{2}\geq\frac{\left(\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^nx_k}+\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^ny_k}\right)^n}{2^n}=c$$