आयाम और झटका
एक विचारशील विविधता पर विचार करें $X$, और जाने $Y$एक बंद सुबोधता हो। के ब्लो-अप पर विचार करें$X$ Y के साथ: हम एक नई किस्म प्राप्त करते हैं $\tilde{X}\subset X\times \mathbb{P}^{\dim Y}$एक साथ एक द्विपक्षीय नक्शे के साथ $$b:\tilde{X}\to X$$ जो असाधारण स्थान के बाहर एक समरूपता है $\tilde{Y}= b^{-1}(Y) \simeq \mathbb{P}(\mathcal{N}_{Y\mid X})$।
प्रश्न: क्या यह सच है $\dim\tilde{X}=\dim X$?
मेरा विचार: ब्लो-अप एक द्विपक्षीय नक्शा है, इसलिए एक खुले (घने) उपसमुच्चय पर एक समरूपता; चूंकि विभिन्न प्रकार के आयाम को फ़ंक्शन फ़ील्ड की ट्रैसेंडेंस डिग्री के रूप में परिभाषित किया गया है, जो खुले सेट पर समान है, तो हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं।
क्या मेरा विचार सही है? मैं इस becuase पूछ रहा हूँ, जबकि मैं एक बिंदु उड़ाने के मामले के लिए इस के बारे में आश्वस्त हूँ, मैं एक यकीन नहीं है की सामान्य मामले के लिए, मुझे यकीन नहीं कर रहा हूँ, क्योंकि यह सहज रूप से मुझे लगता है कि मैं काफी जोड़ रहा हूँ बड़ा स्थान (मुझे पता है, यह कठोर नहीं है, लेकिन मैंने अभी इस विषय का अध्ययन शुरू किया है)।
जवाब
ध्यान रखने योग्य कुछ बातें हैं। एक यह है कि मुझे लगता है कि आप चाहते हैं कि रहने के लिए ब्लोअप निर्माण हो$X \times \mathbb P^{\operatorname{codim} Y}$; बहुत कम से कम जब यह काम करता है$Y$ एक पूर्ण चौराहा है।
सामान्य तौर पर, जैसा कि आपने कहा, असाधारण बंडल सामान्य बंडल के प्रक्षेप के रूप में उत्पन्न होता है $\mathcal N_{Y|X}$। सेट$\dim X = n$ तथा $\dim Y = m$। सामान्य बंडल की रैंक हमेशा के कोडिमेंशन होती है$Y\subset X$, इसलिये $\mathbb P(\mathcal N_{Y|X})$ सापेक्ष आयाम है $n - m - 1$ (अर्थ है कि यह के तंतुओं का आयाम है $ \mathbb P(\mathcal N_{Y|X}) \to Y$, प्रक्षेप्य बंडल का संरचना नक्शा)। अब इस के आयाम को जोड़ना$Y$, हमें एक विविधता के रूप में प्रक्षेप्य बंडल का आयाम मिलता है, अर्थात् $(n-m-1) + m = n-1$, यह दिखाते हुए कि इसमें कोडिमेंशन है $1$ में है $X$। यह इस कारण से है कि एक ब्लूपअप के असाधारण स्थान को आमतौर पर असाधारण विभाजक के रूप में संदर्भित किया जाता है ।