दिखावा की चमक
मैं यह साबित करने की कोशिश कर रहा हूं कि पूरे स्थान पर एक खुले आवरण में तत्वों को एक शीशे में ढाल दिया जाए। संक्षेप में, मैं स्टैक प्रोजेक्ट का अनुसरण कर रहा हूं और नीचे प्रस्ताव को साबित करने की कोशिश कर रहा हूं।
मैं इस प्रकार शुरू हुआ:
संग्रह $\mathcal{B}$ खुले सेटों की $U\subset X$ जिनमें से एक में निहित हैं $U_i$ की टोपोलॉजी के लिए एक आधार बनाता है $X$। अगर$U\in\mathcal{B}$, हम एक sheaf को परिभाषित करते हैं $\mathcal{B}$ व्यवस्थित करके $F(U)=\mathscr{F}_i(U)$ जब कभी $U\subset U_i$। आइसोमोर्फिम्स$\varphi_{ij}$ दिखाता है कि यह चुनाव से स्वतंत्र है $i$। प्रतिबंध के नक्शे उन्हीं में से आते हैं$\mathscr{F}_i$। इसके अलावा, तथ्य यह है कि$\mathscr{F}_i$ एक बहरा तात्पर्य है कि वास्तव में $F$ एक बहरा है $\mathcal{B}$। यह एक बहरे तक फैली हुई है$\mathscr{F}$ पर $X$।
अब, मुझे यह साबित करने की आवश्यकता है कि उक्त आइसोमोर्फिम्स मौजूद हैं जो आरेख को कम्यूट करते हैं। वास्तव में, जब से$\mathscr{F}$ के साथ मेल खाता है $F$ जब कभी $U\subset U_i$, हमारे पास शीमों का एक समरूपतावाद है $\mathscr{F}|_{U_i}\to \mathscr{F}_i$। मुझे नहीं पता कि यह कैसे दिखाना है कि उक्त आरेख शुरू होता है। मुझे निश्चित रूप से साइकिल की स्थिति का उपयोग करना है, क्योंकि यह अभी तक उपयोग नहीं किया गया था, लेकिन मुझे नहीं पता कि कैसे।
पुनश्च: मैंने वास्तव में MSE में सभी संबंधित उत्तरों को पढ़ा था, लेकिन कोई भी खुले सेट के आधार का उपयोग करके इस परिणाम को साबित करने की कोशिश नहीं करता है, इसलिए वे मददगार थे।
जवाब
यह एक पूर्ण उत्तर नहीं है, लेकिन एक टिप्पणी के लिए बहुत लंबा है।
अगर $U\in\mathcal{B}$, हम एक sheaf को परिभाषित करते हैं $\mathcal{B}$ व्यवस्थित करके $F(U)=\mathscr{F}_i(U)$ जब कभी $U\subset U_i$। आइसोमोर्फिम्स$\varphi_{ij}$ दिखाता है कि यह चुनाव से स्वतंत्र है $i$।
मुझे लगता है कि यह पहले से ही काफी सटीक नहीं है कि समस्या को समाप्त करने में सक्षम हो।
वास्तव में समूह $F(U)$ बहुत पसंद पर निर्भर करता है $i$ (उदाहरण के लिए कल्पना कीजिए कि तत्वों के $\mathscr{F}_1(U)$ लाल और के तत्व हैं $\mathscr{F}_2(U)$नीले हैं। किस रंग के तत्व हैं$F(U)$;) यह समूह का समरूपता वर्ग है जो की पसंद पर निर्भर नहीं करता है $i$ - लेकिन प्रत्येक के लिए समूह के एक समरूपता वर्ग निर्दिष्ट करना $U$ (पूर्व) -शिअफ को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त नहीं है।
आम तौर पर किसी को भी इस तरह के पांडित्य के बारे में पता नहीं चलेगा, लेकिन इस समस्या में पांडित्य की बात है, क्योंकि आपको आने वाले आरेख की जांच करने के लिए आइसोमोर्फिज्म पर नज़र रखनी होगी।
मैं @ रविफर्नेंडो के विचार को काम नहीं कर सका, लेकिन "सभी संभव विकल्पों को बनाने की कोशिश कर रहा है" के उत्तराधिकारी ने काम किया। (मुझे लगता है...)
(प्रमेय 19.5.1 तथ्य यह है कि एक आधार पर शीशों को विशिष्ट रूप से "सामान्य" शीशों तक बढ़ाया जा सकता है और प्रस्ताव 19.5.3 यह तथ्य है कि शीफ होम वास्तव में एक शीफ है।)
मैं अपने उत्तर के बारे में कुछ प्रतिक्रिया देना पसंद करूंगा और मैं वास्तव में यह देखना चाहूंगा कि कैसे @ रविफर्नेंडो का विचार काम करेगा।