एक अभिन्न पहचान
$\newcommand\la\lambda\newcommand\w{\mathfrak w}\newcommand\R{\mathbb R}$संख्यात्मक गणना और अन्य विचार ( आईआईडी घातीय चर के माध्य के मीन ) का सुझाव है
$$\int_\R \frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}\,\frac{dt}t=\pi i\,\frac u{1-u}$$ के लिये $u\in(0,1)$, मुख्य मूल्य अर्थ में अभिन्न के साथ समझा। हालाँकि, मैथमेटिका की मदद से भी मैं यह साबित नहीं कर पाया हूँ।
यह कैसे साबित किया जा सकता है?
जवाब
मैं समतल परिसर के ऊपरी आधे हिस्से में समोच्च को बंद कर देता हूं, मूल मूल्य ऊपर उठाता है $i\pi$ अवशेषों का समय$^\ast$ पर $t=0$, जो है $u/(1-u)$। अन्य पोल नहीं हैं।$^{\ast\ast}$
$^\ast$ $\frac{1-e^{i t u}}{e^{i t u}-i t-1}=\frac{u}{1-u}+{\cal O}(t^2).$
$^{\ast\ast}$ डंडे पर हैं $t=i\tau$ साथ में $e^{-\tau u}+\tau=1$ (छोड़कर $\tau=0$, जो अंश द्वारा रद्द किया जाता है); इन पर बने रहें$\tau<0$ सबके लिए $u\in(0,1)$, निकट $-2(1-u)$ के लिये $u\rightarrow 1$।
टिप्पणियों में संख्यात्मक मूल्यांकन के साथ एक मुद्दा था। इस प्रकार के प्रमुख मूल्य अभिन्नों को प्रतिस्थापित करके अधिक सटीक रूप से मूल्यांकन किया जा सकता है$1/t$ द्वारा $\frac{d\log |t|}{dt}$और एक आंशिक एकीकरण कर रहा है। यह देता है$$\int_{-\infty}^\infty dt\,\frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}\,\frac{1}t= -2i\Im\int_{0}^\infty dt\,\ln|t|\frac{d}{dt}\frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}.$$ मामले के लिए $u=1/2$ टिप्पणियों में माना जाता है, गणितज्ञ 3.1406 देता है।
$\newcommand\eps\varepsilon$ हम यह दिखाना चाहते हैं, के तहत $R\to\infty$ तथा $\eps\to 0+$, हमारे पास है $$\int_{(-R,-\eps)\cup(\eps,R)} \frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}\,\frac{dt}t=\pi i\,\frac u{1-u}+o(1).$$ तुल्य, $$\int_{(-R,-\eps)\cup(\eps,R)}\left(\frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}+1\right)\,\frac{dt}t=\pi i\,\frac u{1-u}+o(1).$$ दूसरे शब्दों में, $$\int_{(-R,-\eps)\cup(\eps,R)}\frac{dt}{e^{itu}-1-it}=\pi\,\frac u{u-1}+o(1).$$ इंटीग्रैंड एक खुले सेट युक्त होलोमोर्फिक है $\{t\in\mathbb{C}:\text{$\ Im (टी) \ geq 0$ and $t \ neq 0$}\}$, इसलिए कॉची प्रमेय द्वारा यह दिखाने के लिए पर्याप्त है $$\int_{\gamma(R)}\frac{dt}{e^{itu}-1-it}=-\pi+o(1)\qquad\text{and}\qquad \int_{\gamma(\eps)}\frac{dt}{e^{itu}-1-it}=\frac{\pi}{u-1}+o(1),$$ कहाँ पे $\gamma(r)$ में अर्धवृत्त है $\{t\in\mathbb{C}:\Im(t)\geq 0\}$ से जा रहे हैं $r$ सेवा $-r$। बड़े के लिए$r$पर अभिन्न $\gamma(r)$ है $i/t+O(1/t^2)$। छोटे के लिए$r$पर अभिन्न $\gamma(r)$ है $-i/(t(u-1))+O_u(1)$। परिणाम इस प्रकार है।
यह इंटीलो के ध्रुवों के बारे में कार्लो बेनेकर के दावे का विस्तार करने के लिए है। मान लो कि$t=x+iy$ ऐसा पोल है, जहां $x$ तथा $y$असली हैं। फिर$$1-y=e^{-uy}\cos ux,\quad x=e^{-uy}\sin ux.$$ मान लो कि $y>0$। अगर$x=0$ फिर $1-y=e^{-uy}\ge1-uy$, ताकि $(u-1)y\ge0$, जो शर्तों का खंडन करता है $y>0$ तथा $u\in(0,1)$। इसलिए,$x\ne0$ और इसलिए $$\frac{\sin ux}{ux}=\frac{e^{uy}}u>1,$$ जो असमानता का खंडन करता है $\frac{\sin v}{v}\le1$ सभी वास्तविक के लिए $v\ne0$।
इसलिए, $y\le0$।
अगर अब $y=0$ फिर $1=\cos ux$ और इसलिए $x=\sin ux=0$।
इस प्रकार, एकमात्र पोल $x+iy$ साथ में $y\ge0$ है $0$।