एक क्वांटम राज्य का छद्म बिंदु

Question

दो राज्यों के बीच अधिकतम-सापेक्ष एन्ट्रापी के रूप में परिभाषित किया गया है $D_{\max}(\rho\|\sigma) = \log\lambda$, कहां है $\lambda$ सबसे छोटी वास्तविक संख्या है जो संतुष्ट करती है $\rho\leq \lambda\sigma$, कहां है $A\leq B$ इसका उपयोग यह बताने के लिए किया जाता है $B-A$ सकारात्मक अर्धविराम है।

अधिकतम सापेक्ष एन्ट्रॉपी को व्यक्त करने का एक वैकल्पिक तरीका है

$$D_{\max}(\rho\|\sigma) = \|\sigma^{-1/2}\rho\sigma^{-1/2}\|_{\infty},$$

कहां है $\|\cdot\|_\infty$ऑपरेटर मानदंड है जो अनिवार्य रूप से सबसे बड़े आइगेनवेल्यू को बाहर निकालता है। मैं देखता हूं कि आवश्यक विचार है

\begin{align} \rho &\leq \lambda\sigma \\ \sigma^{-1/2}\rho\sigma^{-1/2}&\leq \lambda I \end{align}

सबसे छोटा संभव चुनना $\lambda$ समानता में परिणाम होता है और इसलिए एक की पुनरावृत्ति होती है $D_{\max}(\rho\|\sigma)$ इस तरह।

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मैंने मान लिया $\sigma^{-1}$ यहाँ द्वारा प्राप्त किया जाता है

1. विकर्ण करना $\sigma$
2. सभी नॉनज़रो ईजेनवेल्यूज़ का पारस्परिक लेना और शून्य ईजेनवेल्यूज़ को छोड़ देना जैसे वे हैं
3. अंडरऑर्गेनाइजिंग $\sigma$ फिर व।

हालाँकि, इससे मुझे कोई मतलब नहीं है क्योंकि जब समर्थन का $\rho$ के समर्थन से बड़ा है $\sigma$, $D_{\max}(\rho\|\sigma) = \infty$। हालाँकि, ऐसा लगता है$\|\sigma^{-1/2}\rho\sigma^{1/2}\|_\infty$ अनंतता कभी नहीं हो सकती।

तो कोई कैसे प्राप्त करता है $\sigma^{-1}$?

Answer 1

आपके द्वारा प्रस्तुत की गई व्युत्पत्ति में एक समस्या है $\rho \leq \lambda \sigma$ के बराबर है $\sigma^{-1/2} \rho \sigma^{-1/2} \leq \lambda I$ कब अ $\sigma$ उलटा है (या कम से कम जब $\mathrm{supp}(\rho) \subset \mathrm{supp}(\sigma)$, ताकि आप अंतरिक्ष को प्रतिबंधित कर सकें $\mathrm{supp}(\sigma)$पूरे हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बजाय)। संपत्ति सच नहीं है अन्यथा: उदाहरण के लिए विचार करें$|+\rangle\langle+| \leq \lambda |0\rangle\langle 0|$ प्रतिवाद के रूप में।

सभी में, केवल जब हालत $\mathrm{supp}(\rho) \subset \mathrm{supp}(\sigma)$ संतुष्ट है कि क्या हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं $D_{\max}(\rho \| \sigma) = \log \| \sigma^{-1/2} \rho \sigma^{-1/2} \|_\infty$।