एक मैट्रिक्स की घन जड़।
मैं एक मैट्रिक्स ए कैसे पा सकता हूं $B=A^3$ कहाँ पे $$B=\begin{pmatrix} 8 & 12 & 0 \\ 0 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$$
मैंने इसकी विशेषता बहुपद पर काम करने की कोशिश की $A$, लेकिन यह दिया गया है $f(t)=(8-t)^3$ उसके बाद का एकमात्र स्वदेशी $B$ is 8. जो मैं करना चाहता था वह लिखना है $B=QDQ^{-1}$ कहाँ पे $D$विकर्ण मैट्रिक्स है, लेकिन मैं नहीं कर सका। मुझे पहले से यह पता है$A$ के बराबर होना चाहिए $\begin{pmatrix} 2 & 1 &-1/2 \\ 0 &2&1\\ 0&0&2 \end{pmatrix}$।
कोई भी आत्महत्या?
जवाब
यहाँ एक अच्छा आत्म निहित दृष्टिकोण है। लश्कर$I$ पहचान मैट्रिक्स को निरूपित करें, और लिखें $$ N = \pmatrix{0&1&0\\0&0&1\\0&0&0}. $$ आपका मैट्रिक्स है $$ B = 8I + 12 N. $$ मैं दावा करता हूं (एक "अनुमान" के रूप में) कि इस मैट्रिक्स का घनमूल रूप में लिखा जा सकता है $$ A = a_0 I + a_1 N + a_2 N^2. $$ नोट किया कि $N^3 = 0$, हम विस्तार करते हैं $(a_0 I + a_1 N + a_2 N^2)^3$ लेना $$ B = A^3 = a_0^3 I + 3a_0^2a_1 N + 3a_0(a_1^2 + a_0a_2)N^2. $$ यह अब सिस्टम को हल करने के लिए पर्याप्त है $$ \begin{cases} a_0^3 = 8\\ 3a_0^3a_1 = 12\\ 3a_0(a_1^2 + a_0a_2) = 0. \end{cases} $$