एक पहेली $10$-आधार संख्या

Question

यदि कोई वर्ग को पुनरावृत्त करता है: $$5^2 = 25, 25^2 = 625, 625^2 = 390625 $$ एक तेज़ी से नोटिस करता है कि अंतिम अंक 'स्थिर' हो जाते हैं, लेकिन हालांकि जब तक आप उपरोक्त प्रक्रिया लेते हैं, तो परिणाम हमेशा समाप्त हो जाएगा $...90625.$ परिणामी 'सीमा' एक तथाकथित है $10$-आधार नंबर।

यह भी दिलचस्प है कि निम्नलिखित प्रक्रिया भी एक स्थिर 'सीमा' की ओर ले जाती है: $$2^5 = 32, 32^5 = 33554432\dots$$ और यदि कोई परिणाम को गुणा करता है $10$-शादी, एक हो जाता है $0$।

इसी तरह के प्रयोगों के बाद, ऐसा लगता है कि पुनरावृति $p^q$ तथा $q^p$ सापेक्ष $pq$pq-adic inverses की ओर जाता है $pq$उत्पाद के साथ -adic नंबर 0. इसे कैसे दिखाया जा सकता है? ऐसा महसूस होता है कि इसे Fermat की छोटी प्रमेय या CRT जैसी किसी चीज़ से आसानी से पालन करना चाहिए लेकिन मैं तुरंत यह नहीं देख सकता कि इसे कैसे साबित किया जाए।

Answer 1

मैंने यह अवलोकन एक गणित पुस्तक में एक बार किया था जब मैं 16 साल का था और उस समय पूरी तरह से चकित था। यह जानकर अच्छा लगा कि अब मैं इसे समझ गया हूँ!

जैसा कि आप कहते हैं, शुरुआती बिंदु सीआरटी का उपयोग करना है, जो हमें लिखने की अनुमति देता है $\mathbb{Z}_{10} \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_5$, तो हम में काम कर सकते हैं $2$-एडिक्स और $5$-शादी अलग से। यह समझना आसान है कि शक्तियों का क्या होता है$5$ में $\mathbb{Z}_5$: वे शून्य में परिवर्तित होते हैं। इसी तरह की शक्तियों के लिए$2$ में $\mathbb{Z}_2$। मुश्किल सवाल शक्तियों के बारे में है$5$ में $\mathbb{Z}_2$ और की शक्तियां $2$ में $\mathbb{Z}_5$।

यहाँ, जैसा कि आप भी कहते हैं, शुरुआती बिंदु यह है कि फ़र्मेट की थोड़ी सी प्रमेय हमारे पास है $x^p \equiv x \bmod p$। तो कम से कम पहला अंक$\bmod p$स्थिर। आगे के पुनरावृत्तियों को लेने के बारे में हम क्या कह सकते हैं$\bmod p^2, p^3$, आदि।?

प्रमेय (का अस्तित्व) https://en.wikipedia.org/wiki/Teichm%C3%BCller_character): चलो$p$ प्राइम हो और जाने दो $x \in \mathbb{Z}_p$। क्रम$x, x^p, x^{p^2}, \dots$ धर्मान्तरित और इसकी सीमा $\omega(x)$, Teichmüller चरित्र की$x$, के लिए अद्वितीय समाधान है $\omega(x)^p = \omega(x)$ जो बधाई हो $x \bmod p$।

प्रमाण। यह क्रम हमेशा उप-स्थान पर रहता है$S_x$ का $\mathbb{Z}_p$ तत्वों से मिलकर $x \bmod p$। यह दर्शाता है कि इस उप-स्थान पर, फ्रोबेनियस मानचित्र है$F(x) = x^p$ में एक संकुचन है $p$-दैनिक मीट्रिक तो हम आवेदन कर सकते हैं https://en.wikipedia.org/wiki/Banach_fixed-point_theorem। दूसरे शब्दों में, हम यह दिखाना चाहते हैं कि कुछ स्थिरांक मौजूद हैं$c < 1$ ऐसे सभी के लिए $a, b \in S_x$ हमारे पास है

$$|a^p - b^p|_p \le c |a - b|_p.$$

यह एक प्रतियोगिता गणित परिणाम से आता है https://en.wikipedia.org/wiki/Lifting-the-exponent_lemmaहालाँकि हमें इसकी पूरी ताकत की ज़रूरत नहीं है, इसलिए हम सबूत के केवल हिस्से के लिए समझौता कर सकते हैं। धारणा के बाद से$a \equiv b \bmod p$, हम निम्नानुसार बहस कर सकते हैं: लिखें

$$\frac{a^p - b^p}{a - b} = a^{p-1} + a^{p-2} b + \dots + b^{p-1}.$$

यह क्रम है $p$ शर्तें और प्रत्येक पद के लिए अनुरूप है $a^{p-1} \equiv b^{p-1} \bmod p$, इसलिए उनकी राशि के अनुरूप है $0 \bmod p$। इसलिए$a^p - b^p$ कम से कम एक और शक्ति द्वारा विभाजित है $p$ से $a - b$ है, जिसका अर्थ है फ्रोबेनियस मानचित्र एक संकुचन है $c = p^{-1}$।

Banach निश्चित बिंदु प्रमेय को लागू करते हुए हम उस अनुक्रम को समाप्त करते हैं $x, F(x), F^2(x), \dots $एक विशिष्ट निश्चित बिंदु पर परिवर्तित होता है$\omega(x)$ में $S_x$: इसका मतलब ठीक यही है $\omega(x) \equiv x \bmod p$ तथा $\omega(x)^p = \omega(x)$ और वह $\omega(x)$इन दो गुणों के संबंध में अद्वितीय है। (वैकल्पिक रूप से इस अस्तित्व और विशिष्टता के परिणाम को हेंसल के लेम्मा से भी घटाया जा सकता है।)$\Box$

इसका मतलब यह है कि टीकमुल्लर चरित्र मानचित्र का एक विहित विभाजन प्रदान करता है$\mathbb{Z}_p^{\times} \to \mathbb{F}_p^{\times}$ इकाइयों के समूहों पर, हमें निर्माण करने की अनुमति देता है $(p-1)^{th}$ में एकता की जड़ें $\mathbb{Z}_p$ आश्चर्यजनक रूप से स्पष्ट रूप से।

प्रमेय को लागू करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

• क्रम $5, 5^2, 5^4, \dots $ में परिवर्तित हो जाता है $\mathbb{Z}_2$ करने के लिए अद्वितीय समाधान के लिए $\omega(5)^2 = \omega(5)$ के लिए बधाई $1 \bmod 2$, जो है $1$। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में परिवर्तित होता है$\mathbb{Z}_{10} \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_5$ सेवा $(1, 0)$, जो कि वास्तव में बेरोजगार प्रोजेक्ट है $\mathbb{Z}_{10}$ नीचे करने के लिए $\mathbb{Z}_2$।
• क्रम $2, 2^5, 2^{25}, \dots$ में परिवर्तित हो जाता है $\mathbb{Z}_5$ करने के लिए अद्वितीय समाधान के लिए $\omega(2)^5 = \omega(2)$ के लिए बधाई $2 \bmod 5$, जो दो आदिम में से एक है $4^{th}$एकता की जड़ें। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में परिवर्तित होता है$\mathbb{Z}_{10} \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_5$ एक तत्व के लिए आप कॉल कर सकते हैं $(0, i)$।

अब हमारे पास बेशक है $(1, 0) \cdot (0, i) = (0, 0)$। मज़े की बात यह है कि अगर हम चौथी शक्ति लेते हैं$(0, i)$अनुक्रम की सीमा हो रही है $16, 16^5, \dots$, हमें मिला $(0, 1)$है, जो से बेरोजगार पेश है $\mathbb{Z}_{10}$ नीचे करने के लिए $\mathbb{Z}_5$, और यह संतुष्ट करता है $(0, 1)^2 = (0, 1)$ तथा $(0, 1) + (1, 0) = (1, 1)$; दूसरे शब्दों में, यदि हम अंकों को जानते हैं$(1, 0) = \dots 90625$ हम अंकों की गणना कर सकते हैं $(0, 1)$ बस से घटाकर $1$, जो देता है

$$\lim_{n \to \infty} 16^{5^n} = \dots 09376 = 1 - \lim_{n \to \infty} 5^{2^n}$$

और आप इसे एक कैलकुलेटर पर देख सकते हैं!

इसे दूसरे शब्दों में कहें तो यह है कि ये दो सीमाएँ हैं, जो कुछ हद तक अपमानजनक हैं $\omega(5)$ तथा $\omega(16)$, किसी के विहित विघटन दे $10$-दो नंबर दो घटकों में

$$x = \omega(5) x + \omega(16) x$$

जहां पहला घटक है $5$-शादी शून्य और देता है $2$के -adic घटक $x$ और दूसरा घटक है $2$-शादी शून्य और देता है $5$के -adic घटक $x$।

(आप CRT के एक निश्चित स्पष्ट प्रमाण से परिचित हो सकते हैं, जो कि उदाहरण के लिए, जैसे दिखाने के लिए इन जैसे बेरोजगारों का निर्माण करता है $5x + 6y$ एक स्पष्ट संख्या के अनुरूप है $x \bmod 2$ तथा $y \bmod 5$; यह निर्माण इस तरह के बेवकूफों का एक संगत परिवार देता है$\bmod 10^n$ सबके लिए $n$।)

Answer 2

यह मजेदार चीज है। मुझे अपने चेहरे पर अंडे दिए बिना कुछ योगदान करने का प्रयास करने दें।

तथ्य यह है, कि यदि आप लिखते हैं $\Bbb Z_{10}$ दस-अदि संख्याओं के लिए, तब $\Bbb Z_{10}\cong\Bbb Z_2\oplus\Bbb Z_5$। दाईं ओर सीधी राशि में, आपके पास जोड़ और गुणा दोनों समन्वय के लिए हैं, अर्थात$a,a'\in\Bbb Z_2$, दो-एडिक पूर्णांक और $b,b'\in\Bbb Z_5$, पांच-एडिक पूर्णांक, दो नियम $(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b')$ तथा $(a,b)(a',b')=(aa',bb')$।

यह दिखाने का सबसे अच्छा तरीका ऑर्थोगोनल इडम्पोटेंट्स की एक जोड़ी को खोजना है $\Bbb Z_{10}$प्रत्यक्ष राशि की गुणक पहचान को जोड़ना। अधिक सटीक, आप चाहते हैं$e_2,e_5\in\Bbb Z_{10}$ संतोषजनक $e_i^2=e_i$ के लिये $i=2,5$ और भी $e_2+e5=1$, $e_2e_5=0$। और फिर आप दिखाते हैं$e_2\Bbb Z_{10}\cong\Bbb Z_2$, $e_5\Bbb Z_{10}\cong\Bbb Z_5$, और समरूपता है $z\mapsto(e_2z,e_5z)$।

आप लगातार अनुमान प्राप्त कर सकते हैं $e_2$ चीनी रेमिनेडर का उपयोग करके समाधान खोजने के लिए $e_{2,n}\equiv1\pmod{2^n}$, $e_{2,n}\equiv0\pmod{5^n}$। फिर स्वचालित रूप से, इसी$e_{5,n}$ होगा $10^n+1-e_{2,n}$।

चार दस-एडिक स्थानों पर, ये प्रतीत होते हैं $e_2=\dots625$, $e_5=\dots9376$।

अब: यह कैसे आप क्या पाया से संबंधित है? के लिए एक प्रमेय है$p$-सामान्य संख्या है कि अगर $v_p(z-1)=m$, फिर $v_p(z^p-1)=m+1$। यहाँ,$v_p(z)=k$ मतलब कि $p^k$ की उच्चतम शक्ति है $p$ भाग देनेवाला $z$। यानी, ले रहा है$p$-कुछ की शक्ति ($p$-शादी के करीब) $1$तुम करीब हो जाता है, लेकिन केवल एक कदम से। आपने शुरुआत की$5$, जो है $v_2(5-1)=2$, और चुकता करने के लिए $v_2(25-1)=3$। बराबरी$25$, आपको मिला $v_5(625-1)=4$। के लिये$z=2$, आपने पहचाना कि आपको लगातार काम लेने की जरूरत है $5$-तथा शक्तियां। लेकिन आप कुछ के साथ शुरू हुआ$1$ आधुनिक $5$, इसलिए प्रमेय काफी लागू नहीं हुआ । अगर आपने साथ शुरू किया था$16$ इसके बजाय, फिर $v_5(16-1)=1$, $v_5(16^5-1)=v_5(1048576-1)=2$, आदि जैसा कि मैंने ऊपर अपनी टिप्पणी में कहा था, यह नहीं है क्योंकि यह लगातार अनुमान लगाने का एक कुशल तरीका है $e_2$ तथा $e_5$।

उपरोक्त प्रक्रिया को और अधिक कुशल बनाने का तरीका है कि अंकों को बाईं ओर बहुत दूर फेंक दिया जाए। के क्रमिक वर्ग के साथ काम करना$5$, एक बार जब आप वर्ग $625$, यह वर्ग और सब कुछ के बाईं ओर फेंक देते हैं $9$: $90625^2=\dots890625$। वर्ग$890625$ और फिर कुछ दूर फेंक, हो रही है $\dots2890625$, आदि आप अपने कैलकुलेटर (या अपनी आँखों) पर अतिरिक्त दबाव नहीं डाल रहे हैं, और जब आप प्राप्त करते हैं तो आप हार मान लेते हैं $e_2=\dots259918212890625$। अब बस उस का पूरक लें और दो को प्राप्त करें$\dots740081787109376$ आपके लिए $e_5$। बेशक ये पूरक हैं, अर्थात इसमें जोड़ें$1$ modulo की उचित शक्ति $10$, और आप जाँच कर सकते हैं कि यह सन्निकटन है $e_5\equiv e_5^2$ modulo की शक्ति $10$ भी, और वह $e_2e_5\equiv0$। मैंने किया, और वे बिलकुल ठीक हैं।