एक तथ्य की परिभाषा
अब मुझे हमेशा ही फैक्टरियल से रूबरू कराया गया, पहले तो हाई स्कूल में, शिक्षकों ने मुझे बताया कि फैक्टरियल केवल पूरे नंबरों के लिए परिभाषित होते हैं। जैसा कि मैंने अध्ययन किया, मुझे सकारात्मक वास्तविक और नकारात्मक अंशों के लिए factorials मिले। लेकिन अभिन्न जिसके साथ हम फैक्टरियल को परिभाषित करते हैं वह नकारात्मक पूर्णांक पर सपाट हो जाता है।
ऐसा क्यों है कि हम (-1/2) और मूल (3) के भाज्य का पता लगा सकते हैं, लेकिन -1 या -2 के लिए नहीं? क्या यह एक गुट की परिभाषा के खिलाफ जाता है? यदि हाँ, तो क्या एक फैक्टरियल की परिभाषा है क्योंकि बच्चों को यह कभी नहीं सिखाया जाता है और यह उनके तर्क और विषय की धारणा को बादल देता है।
जवाब
बच्चों को केवल नैचुरल फैक्टर सिखाया जाता है क्योंकि परिभाषा प्राथमिक है (हालांकि $0!=1$ विशेष टिप्पणी के पात्र हैं)।
जब आप इसे वास्तविक तक विस्तारित करना चाहते हैं, तो एक प्राकृतिक तरीका अभिन्न के साथ है
$$I_n=\int_0^\infty x^ne^{-x}dx$$ जैसा कि यह पुनरावृत्ति की पुष्टि करता है
$$I_n=\int_0^\infty x^ne^{-x}dx=-\left. x^ne^{-x}\right|_0^\infty+n\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}dx=nI_{n-1}$$ तथा $I_n=n!$।
जैसा कि अभिन्न एक अर्थ रखता है $n$ सकारात्मक वास्तविक, यह विस्तार के लिए लिया जाता है।
अब नकारात्मक के लिए, यह पुनरावृत्ति को बनाए रखने के लिए समझ में आता है
$$(n-1)!=\frac{n!}n,$$ नकारात्मक पूर्णांकों के लिए अनंत मानों के परिणामस्वरूप।
भाज्य की पुनरावर्ती परिभाषा $(n+1)! = n! \cdot (n+1)$ कटौती करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है $$n! = \dfrac{(n+1)!}{n+1}$$
यह काम करने का एक तरीका है $0!=1$, ले रहा $n=0$ऊपरोक्त में। हालांकि, अगर हम इसके लिए प्रयास करते हैं और करते हैं$(-1)!$, हम एक समस्या है: $$(-1)! = \dfrac{(-1+1)!}{-1+1} = \dfrac{0!}{0} = \dfrac{1}{0}$$
लेकिन हम विभाजित नहीं कर सकते $0$, इसलिए हम परिभाषित नहीं कर सकते $(-1)!$।
जैसा कि टिप्पणियों में कहा गया है, गामा समारोह $\Gamma$ गैर-पूर्णांकों के लिए भाज्य को बढ़ाने का "सही" तरीका है। $\Gamma$ नकारात्मक पूर्णांक पर विचलन करता है, क्योंकि इसे संतुष्ट करना आवश्यक है $\Gamma(n+1) = \Gamma(n) \cdot (n+1)$, इसलिए उपरोक्त के रूप में एक ही तर्क लागू होता है।