गणितीय CNOT व्याख्या

Question

मैं सोचता था कि CNOT लक्ष्य के क्विट के एम्पलीट्यूड को फ़्लिप करता है $b^2$ कहां है $b$ है $|1\rangle$नियंत्रण की मात्रा का आयाम। यह पैदावार लक्ष्य की अंतिम (CNOT) स्थिति के बाद होगी:$$ \sqrt{a_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2} \big|0 \big\rangle + \sqrt{a_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2} \big|1 \big\rangle $$ (अंतर्ज्ञान यह है कि संभावना के साथ $a^2$ कोई फ्लिप नहीं है, और संभावना के साथ $b^2$फ्लिप होता है) लेकिन वास्तव में, टारगेट क्विट पर इस तरह के फॉर्मूले के दो अनुक्रमिक लागू होने के बाद, इस तरह की क्विट प्रारंभिक अवस्था में समाप्त नहीं होगी। तो या तो ऊपरी व्याख्या गलत है या मैंने गणित को कहीं पर दोष दिया है। यदि मेरी व्याख्या गलत है, तो क्या आप कृपया एक सही प्रदान कर सकते हैं? यदि यह सही है, तो कृपया मुझे इसे प्रायिकता के संदर्भ में प्राप्त करने में मदद करें और यह समझने के लिए कि CNOT एकात्मक मैट्रिक्स कैसे काम करता है।

Answer 1

एकल CNOT ऑपरेशन के लिए, बूलियन लॉजिक के संदर्भ में सबसे सरल तरीका सोचना है। गणितीय रूप से, यह आमतौर पर मॉड्यूलर जोड़ के द्वारा दर्शाया जाता है, जो CNOT की क्रिया को बताता है$$\vert A, B \rangle \rightarrow \vert A, A \oplus B \rangle,$$ कहां है $\vert A, B \rangle$ के टेंसर उत्पाद है $\vert A \rangle$ तथा $\vert B \rangle$, तथा $\oplus$ is mod mod 2. यदि यह आपको विदेशी लगता है, तो बस लिखें $2 \times 2$सत्य तालिका और आप देखेंगे कि यहां कुछ भी जटिल नहीं है (संभवतः कुछ अपरिचित संकेतन को छोड़कर)। यह देखना भी आसान है$A \oplus A \oplus B = B$अनुक्रमिक आवेदन के बाद अपेक्षित परिणाम दे रहा है।

एक अन्य दृष्टिकोण रैखिक बीजगणित से उपकरणों का उपयोग करना है और एकात्मक परिवर्तन के रूप में सीएनओटी का प्रतिनिधित्व करना है। चूंकि CNOT एक दो-क्विट ऑपरेशन है, इसलिए परिवर्तन का आयाम है$2^2=4$, दे रहा है $$\vert A, B \rangle \rightarrow U_{CNOT}\vert A,B \rangle, \;\;\; U_{CNOT}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0 \end{bmatrix}.$$ यह भी अच्छी तरह से हाथ से काम करने के लायक है अगर कोई भ्रम है कि यह क्यों काम करता है, तो यह ध्यान देने योग्य है $U_{CNOT}{}^2=I$।

ओपी समीकरण में निहित समस्याग्रस्त मान्यताओं में से एक यह है $\vert A \rangle$ तथा $\vert B \rangle$CNOT के बाद अलग होने योग्य हैं, जो आम तौर पर सच नहीं है। दूसरे शब्दों में, यदि$\vert A \rangle$ तथा $\vert B \rangle$CNOT के बाद उलझे हुए हैं, उन्हें अब शुद्ध राज्यों के रैखिक संयोजन के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। इस बिंदु पर घनत्व मैट्रीस बहु-क्विट गेटों की एक श्रृंखला के बाद तेजी से बड़े वैक्टर से निपटने के लिए प्रासंगिक हो जाते हैं।

टिप्पणी के जवाब में संपादित करें:

अपने तार्किक अंत तक ले जाया गया, आपकी व्याख्या दो qubit राज्यों के माप परिणामों के बीच एक शास्त्रीय सहसंबंध की ओर ले जाती है। बेल और चेस प्रयोगों ने संदेह से परे दिखाया है कि उलझे हुए राज्यों को शास्त्रीय रूप से सहसंबद्ध नहीं किया जाता है।

तो कम से कम मामलों में जब CNOT उलझाव पैदा करता है, तो आपकी व्याख्या प्रयोग के साथ असंगत है। दुर्भाग्य से, विषय पर बहस की एक सदी के बाद, यह अभी भी स्पष्ट नहीं है कि सही व्याख्या क्या है (या यहां तक ​​कि अगर ऐसी व्याख्या मौजूद है)। इससे भी अधिक दुर्भाग्य से कई प्रशंसनीय व्याख्याएं हैं जो प्रयोग के अनुरूप हैं।