ग्राफ $x = 2 + e^{-\frac{1}{2}x}$

Question

मेरा प्रश्न भाग 2 के लिए विशिष्ट है।

अटल $a$ इस प्रकार कि $$\int_0^a x\mathrm e^{\frac12x}\,\mathrm dx=6\text.$$

1. वो दिखाओ $a$ समीकरण को संतुष्ट करता है $$x = 2 + \mathrm e^{-\frac{1}{2}x}\text.$$
2. रेखांकन की एक उपयुक्त जोड़ी को स्केच करके, यह दर्शाते हैं कि इस समीकरण की केवल एक जड़ है।
3. गणना द्वारा सत्यापित करें कि यह जड़ बीच में है $2$ तथा $2.5$।
4. के मान की गणना करने के लिए भाग 1 में समीकरण के आधार पर एक पुनरावृत्त सूत्र का उपयोग करें $a$ सही है $2$दशमलव स्थान। प्रत्येक पुनरावृत्ति का परिणाम दें$4$ दशमलव स्थान।

मैंने दिए गए फॉर्म में इंटीग्रल को सफलतापूर्वक बदल दिया है: $$x = 2 + \mathrm e^{-\frac{1}{2}x}$$

अब स्केचिंग के लिए। मैं इस बारे में बहुत उलझन में हूं कि मैं इस ग्राफ को कैसे स्केच करूं। मैं घातीय फ़ंक्शन के सामान्य ग्राफ़ को जानता हूं, लेकिन अंदर$x = 2 + \mathrm e^{-\frac{1}{2}x}$, मेरे पास नहीं है $y$!

क्या कोई विवरण में जा सकता है? मैं इस सबसे अभी तक अपना सिर नहीं लपेट सकता, इसलिए विवरण मुझे प्रकाश देखने में मदद करेगा।

Answer 1

आप स्केच कर सकते हैं $f(x)=x$। स्पष्ट रूप से$f(0)=0$ तथा $f(3)=3$।

अब देखते हैं $g(x)=2+e^{-\frac{x}{2}}$। हमारे पास है$g(0)=3$, $g(3)=2+e^{-\frac{3}{2}}<3,$$\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} g (x) = 2 $ और $ \ lim_ {x \ rightarrow- \ infty} जी (x) = \ infty। $।

तब $ g (0)> f (0) $ और $ g (3) <f (3) $ । इसलिए दोनों ग्राफ़ को स्केच करते हुए, हम देख सकते हैं कि $ x \ a (0,3) $ के लिए एक समाधान है । देखें यहाँ ।

Answer 2

भाग (iii) के लिए, आपको वह मिल जाना चाहिए $g(x) = x - \left(2 + e^{-\frac{1}{2}x} \right)$, $g(2) > 0$ तथा $g(2.5) < 0$। तब के बीच एक जड़ के अस्तित्व को दिखाने के लिए आईवीटी का उपयोग करें$2$ तथा $2.5$।