है $Y - E[Y|X]$ से स्वाधीन $X$?

Question

किसी भी दो यादृच्छिक चर के लिए $X$ तथा $Y$, है $Y - E[Y|X]$ से स्वाधीन $X$? सहज रूप से मुझे लगता है कि यह मामला होना चाहिए, क्योंकि कंडीशनिंग में सभी पहलुओं को शामिल किया जाना चाहिए$X$ जिसके साथ उलझ गए हैं $Y$।

Answer 1

मान लीजिए $Y \sim U(-1,1)$ तथा $X=Y^2$ फिर $E[Y \mid X] \equiv 0$, परंतु $Y$ तथा $X$ खुद स्वतंत्र नहीं हैं।

जो सच है वह है $X$ तथा $Y-E[Y \mid X]$हैं असहसंबद्ध ।

वैसे, कोई भी इस तरह के उदाहरणों के एक बड़े परिवार को पकाने के लिए किसी भी सख्ती से बढ़ते समारोह पर विचार कर सकता है $f : [0,\infty) \to \mathbb{R}$ (जो स्वचालित रूप से बोरेल मापन योग्य हैं), अनिवार्य रूप से कोई भी $Y$ के बारे में सममित वितरण के साथ $0$, तथा $X=f(|Y|)$। (मैं "अनिवार्य रूप से" शब्द का उपयोग करता हूं क्योंकि निश्चित रूप से एक को यह मानना ​​चाहिए$E[Y]$ मौजूद।)

Answer 2

वे हमेशा असंबद्ध हैं, वास्तव में

$$ Cov(X,Y - \mathbb E[Y|X]) = Cov(X,Y) - Cov(X,\mathbb E[Y|X]) $$

अपेक्षाओं के अनुरूप और टॉवर संपत्ति का उपयोग करना और $X$ की औसत दर्जे की $X$, हमें मिला $$Cov(X,Y - \mathbb E[Y|X])= \mathbb E[XY] - \mathbb E[X]\mathbb E[Y] - \mathbb E[X\mathbb E[Y|X]] + \mathbb E[X]\mathbb E[\mathbb E[Y|X]]=0$$

लेकिन ले रहे हैं $X \sim \mathcal N(0,1)$, $\varepsilon = \pm 1$ संभाव्यता के साथ $\frac{1}{2}$ स्वतंत्र $X$ तथा $Y=\varepsilon X$, आपको मिलेगा $\mathbb E[Y|X] = 0$ लगभग निश्चित रूप से, लेकिन $X$ तथा $Y$ स्वतंत्र नहीं हैं (विचार करें $X \in (0,1) , Y \in (1,2)$)