हल $AB+BA=XBX'$

Question

मान लीजिए $A$ है $d\times d$ सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स, मैं एक मैट्रिक्स ढूंढना चाहूंगा $X$ ऐसा है कि निम्नलिखित सभी सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स के लिए सच है $d\times d$ मैट्रिक्स $B$

$$AB+BA=XBX^T$$

समाधान कब मौजूद है? क्या इस समीकरण का कोई नाम है?

Answer 1

जैसा कि यह खड़ा है, समीकरण हल है यदि और केवल यदि $A$ एक सकारात्मक अदिश मैट्रिक्स है।

जबसे $AB+BA=XBX^T$के लिए सभी सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स$B$, अगर हम पास होते हैं $B$ एक सीमा तक, समीकरण तब भी संतुष्ट है जब $B$सकारात्मक सकारात्मक है। विशेष रूप से,$Auu^T+uu^TA=(Xu)(Xu)^T$ प्रत्येक नॉनजरो वेक्टर के लिए $u$। चूंकि आरएचएस की रैंक सबसे अधिक है,$Au$ एक स्केलर मल्टीपल होना चाहिए $u$। जैसा$u$ मनमाना है, इसका मतलब है कि प्रत्येक नॉनजरो वेक्टर एक आइजनवेक्टर है $A$ और इसलिए $A$एक अदिश मैट्रिक्स है। इस प्रकार$A=cI$ कुछ के लिए $c>0$ चूंकि $A$ सकारात्मक निश्चित है।

इसके विपरीत, यदि $A=cI$ कुछ के लिए $c>0$, हमारे पास है $2cuu^T=(Xu)(Xu)^T$ प्रत्येक नॉनजरो वेक्टर के लिए $u$। इसलिये$Xu$ के बराबर है $\pm\sqrt{2c}u$, जिसका अर्थ है कि एकमात्र समाधान हैं $X=\pm\sqrt{2c}I$।

Answer 2

सबसे पहले, हम निम्नलिखित गुणों को साबित करते हैं:

संपत्ति 1:

अगर $\;M\;$ एक वास्तविक सममित मैट्रिक्स है, एक सममित मैट्रिक्स मौजूद है $\;M^{\frac{1}{2}}\;$ ऐसा है कि $\;M^{\frac{1}{2}}\cdot M^{\frac{1}{2}}=M.\;$ इसके अलावा, अगर $\;M\;$ सकारात्मक है, तो निश्चित है $\;M^{\frac{1}{2}}\;$ सत्य है।

प्रमाण:

वास्तविक सममित मैट्रिक्स के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय लागू करने से, हमें पता चलता है कि एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स मौजूद है $\;U\;$ ऐसा है कि $\;U^T\cdot M\cdot U=F\;$ विकर्ण है, इसलिए

$M=U\cdot F\cdot U^T\;$।

लश्कर $\;G\;$ विकर्ण मैट्रिक्स हो, जिसकी प्रविष्टियां प्रविष्टियों की वर्गमूल हैं $\;F\;,\;$ तो यह परिणाम है कि $\;F=G\cdot G\;.$

साँचा $\;M^{\frac{1}{2}}=U\cdot G\cdot U^T\;$ सममित है और

$\;M^{\frac{1}{2}}\cdot M^{\frac{1}{2}}=U\cdot G\cdot U^T\cdot U\cdot G\cdot U^T=U\cdot G\cdot G\cdot U^T=\\\qquad\qquad\;\;=U\cdot F\cdot U^T=M\;.$

इसके अलावा, अगर $\;M\;$ सकारात्मक है, तो इसके सभी प्रतिजन सकारात्मक हैं, इसलिए मैट्रिक्स की सभी विकर्ण प्रविष्टियां हैं $\;F\;$ सकारात्मक भी हैं, फलस्वरूप $\;G\;$ तथा $\;M^{\frac{1}{2}}\;$ असली मैट्रिस हैं।

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संपत्ति 2:

अगर $\;M\;$ एक उलटा वास्तविक सममित मैट्रिक्स है, फिर

$Y^T\cdot Y=M\implies\exists\;U$ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स ऐसा $\;Y=U\cdot M^{\frac{1}{2}}\;.$

प्रमाण:

संपत्ति 1 को लागू करने से, यह निम्न है कि एक सममित मैट्रिक्स मौजूद है $\;M^{\frac{1}{2}}\;$ ऐसा है कि $\;M^{\frac{1}{2}}\cdot M^{\frac{1}{2}}=M\;.$

जबसे $\;M\;$ उलटा है, फिर $\;\det M\ne0\;,\;$ इसलिये $\;\det\left(M^{\frac{1}{2}}\right)\ne0\;,\;$ इसके फलस्वरूप $\;M^{\frac{1}{2}}\;$ उलटा भी है।

मान लीजिये $M^{\frac{1}{2}}$ सममित है, फिर $\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}$ सममित भी है।

अगर $\;Y^T\cdot Y=M\;,\;$ फिर

$Y^T\cdot Y=M^{\frac{1}{2}}\cdot M^{\frac{1}{2}}\;,$

$\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}\cdot Y^T\cdot Y\cdot\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}=I\;,$

$\left[Y\cdot\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}\right]^T\cdot\left[Y\cdot\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}\right]=I\;,\;$ इसलिये

$Y\cdot\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}=U\;$ एक ओथोगोनल मैट्रिक्स है और

$Y=U\cdot M^{\frac{1}{2}}\;.$

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संपत्ति 3:

अगर $\;M\;$ एक वास्तविक सममित मैट्रिक्स है, फिर

$Y=U\cdot M^{\frac{1}{2}}\;$ कहाँ पे $\;U\;$ कोई भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है $\implies Y^T\cdot Y=M\;.$

प्रमाण:

$Y^T\cdot Y=\left(U\cdot M^{\frac{1}{2}}\right)^T\cdot\left(U\cdot M^{\frac{1}{2}}\right)=M^{\frac{1}{2}}\cdot U^T\cdot U\cdot M^{\frac{1}{2}}=\\\qquad\quad=M^{\frac{1}{2}}\cdot M^{\frac{1}{2}}=M\;.$

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अब हम मैट्रिक्स समीकरण को हल करने जा रहे हैं:

$X\cdot B\cdot X^T=AB+BA\;,\quad\color{blue}{(*)}$

कहाँ पे $\;A\;$ तथा $\;B\;$ सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स हैं।

वास्तविक सममित मैट्रिक्स के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय लागू करने से, हमें पता चलता है कि एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स मौजूद है $\;P\;$ ऐसा है कि $\;P^T\cdot B\cdot P=D\;$ विकर्ण है, इसलिए

$B=P\cdot D\cdot P^T\;$।

लश्कर $\;E\;$ विकर्ण मैट्रिक्स हो, जिसकी प्रविष्टियां प्रविष्टियों की वर्गमूल हैं $\;D\;,\;$ तो यह परिणाम है कि $\;D=E\cdot E\;.$

मान लीजिये $\;B\;$ एक सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स है, इसके सभी प्रतिजन सकारात्मक हैं, इसलिए सभी विकर्ण प्रविष्टियां हैं $\;D\;$ तथा $\;E\;$ सकारात्मक भी हैं, फलस्वरूप $\;D\;$ तथा $\;E\;$ इनवर्टेड मैट्रेस हैं।

$X\cdot B\cdot X^T=AB+BA\;,$

$X\cdot P\cdot E\cdot E\cdot P^T\cdot X^T=AB+BA\;,$

$\left(E\cdot P^T\cdot X^T\right)^T\cdot E\cdot P^T\cdot X^T=AB+BA\;.$

जैसे भी हो $\;Y=E\cdot P^T\cdot X^T\;,\;$ हमें वह मिलता है

$Y^T\cdot Y=AB+BA\;.\quad\color{blue}{(**)}$

जबसे $\;AB+BA\;$ एक वास्तविक सममित मैट्रिक्स है, संपत्ति 3 को लागू करके, यह इस प्रकार है

$Y=Q\cdot\left(AB+BA\right)^{\frac{1}{2}}$

मैट्रिक्स समीकरण का एक समाधान है $(**)$ जो भी ओर्थोगोनल मैट्रिक्स है $\;Q\;$ है।

$Y=Q\cdot\left(AB+BA\right)^{\frac{1}{2}}\;,\;$

$E\cdot P^T\cdot X^T=Q\cdot\left(AB+BA\right)^{\frac{1}{2}}\;,\;$

$X^T=P\cdot E^{-1}\cdot Q\cdot\left(AB+BA\right)^{\frac{1}{2}}\;,\;$

$X=\left(AB+BA\right)^{\frac{1}{2}}\cdot Q^T\cdot E^{-1}\cdot P^T\;.$

इसलिए,

$X=\left(AB+BA\right)^{\frac{1}{2}}\cdot Q^T\cdot E^{-1}\cdot P^T\;,$

कहाँ पे $\;E,\;P\;$ ऐसे मैट्रीस होते हैं $\;B=P\cdot E\cdot E\cdot P^T\;,$

मैट्रिक्स समीकरण का एक समाधान है $(*)$ जो भी ओर्थोगोनल मैट्रिक्स है $\;Q\;$ है।