इंडेक्स नोटेशन में मैट्रिक्स गुणा
मैं व्यक्त करने की कोशिश कर रहा हूं $i$ तथा $j$उत्पाद का वें घटक $AB^{T}C$ के घटकों के संदर्भ में $A$, $B$ तथा $C$ सूचकांक संकेतन / आइंस्टीन योग सम्मेलन में, जहां $A\in\Bbb{R}^{n\times p}$, $B\in\Bbb{R}^{q\times p}$ तथा $C\in\Bbb{R}^{q\times s}$।
मैं एक माना मैट्रिक्स उत्पाद के लिए मानक संकेतन से अवगत हूं $C=AB$, जो है $c_{ik}=a_{ij}b_{jk}$, लेकिन बाद में मुझे यकीन नहीं है कि कैसे आगे बढ़ना है - मुझे जो भी मदद मिल सकती है, उसकी सराहना करें, धन्यवाद।
जवाब
भ्रम से बचने के लिए मध्यवर्ती चर का उपयोग करें
परिभाषित करें $D=B^T$ तथा $E=AD$ जिस तरह से आप चाहते हैं $ij$का प्रवेश $F=EC$
$$ d_{lm} = b_{ml}\\ e_{no} = a_{np} d_{po} = a_{np} b_{op}\\ f_{ij} = e_{ik} c_{kj} = a_{ip} b_{kp} c_{kj} $$
गुणन / ट्रांसपोज़िशन के प्रत्येक अलग-अलग ऑपरेशन को तोड़कर यह आसान है। भ्रम से बचने के लिए हर चीज पर नज़र रखने के लिए नए नामों का उपयोग करें।
पहला प्रविष्टियों को स्वैप कर रहा है क्योंकि यह एक ट्रांसपोज़ेशन है।
अगली पंक्ति सूचकांक संकेतन में गुणा है $n$ $o$ तथा $p$ डमी सूचकांकों की जगह ले रहा है $i$ $k$ तथा $j$क्रमशः। फिर पहली पंक्ति को इसके लिए स्थानापन्न करें$d$की प्रविष्टि।
अगली पंक्ति के लिए गुणा है $E$ तथा $C$ और फिर दूसरी पंक्ति के लिए स्थानापन्न करें $e$की प्रविष्टि।
बाद के लिए पुनश्च, यह सूचकांकों और सदस्यता के रूप में सूचकांकों के लिए उपयोगी है। यह आपके लिए पंक्तियों बनाम स्तंभों का ट्रैक रखता है और बेहतर सामान्य करता है।