Iterated Limit का मूल्यांकन

Question

लश्कर $f: \textrm{dom}(f) \rightarrow \mathbb{R}$।

लश्कर $a \in \textrm{dom}(f)$।

मान लीजिये $f''(a)$ मौजूद।

साबित करना चाहते हैं $f''(a) = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a + h) + f(a - h) - 2f(a)}{h^2}$ ।

$f''(a)$

$= \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f'(a + h) - f'(a)}{h}$

$= \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\lim_{k \rightarrow 0} \frac{f(a + h + k) - f(a + h)}{k} - \lim_{k \rightarrow 0} \frac{f(a + k) - f(a)}{k}}{h}$

$= \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\lim_{k \rightarrow 0} \bigg( \frac{f(a + h + k) - f(a + h)}{k} - \frac{f(a + k) - f(a)}{k} \bigg)}{h}$

$= \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\lim_{k \rightarrow 0} \frac{f(a + h + k) - f(a + h) - f(a + k) + f(a)}{k}}{h}$

$= \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \Bigg( \! \lim_{k \rightarrow 0} \frac{f(a + h + k) - f(a + h) - f(a + k) + f(a)}{hk} \Bigg)$

वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए, मैं प्रतिस्थापित करना चाहूंगा $k$ साथ में $-h$। मैंने ऐसा इसलिए किया क्योंकि$h \rightarrow 0$ तथा $k \rightarrow 0$, $k \rightarrow -h$।

हालाँकि, यह तर्क "$h \rightarrow 0$ तथा $k \rightarrow 0$"दो-चर की सीमा के मामले में अधिक लागू होगा $(h, k) \rightarrow (0, 0)$अभिव्यक्ति में देखा के रूप में एक iterated सीमा के बजाय, जो समान नहीं हो सकता है: लिंक ।

तो मैं कैसे प्रतिस्थापित करने का औचित्य सिद्ध कर सकता हूं $k$ साथ में $-h$?

मैंने मूर-ओस्गुड प्रमेय का उपयोग करने के बारे में सोचा, जो कहता है कि पुनरावृत्त सीमा पर्याप्त स्थिति के तहत दो-चर सीमा के बराबर है। हालांकि, मैं बहुपरत पथरी से अपरिचित हूं और मुझे यकीन नहीं है कि मैं इस मामले में इसका उपयोग कैसे करूंगा। दुर्भाग्य से, मुझे एक प्रमाण भी नहीं मिला है जो विकिपीडिया के विवरण का अनुसरण करता है: लिंक ।

Answer 1

के अनुसार टेलर की प्रमेय यह एक नक्शा मौजूद है$r_2$ शून्य के पड़ोस में परिभाषित किया गया है जैसे कि

• $f(a+h)=f(a)+f^{\prime}(a)h +\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(a)h^2+h^2r_2(h)$
• $\lim\limits_{h \to 0} r_2(h)=0$

आप तब समानता से वांछित निष्कर्ष प्राप्त करते हैं $$\frac{f(a + h) + f(a - h) - 2f(a)}{h^2}=f^{\prime\prime}(a)+r_2(h)+r_2(-h)$$