जुआ प्रश्न
व्यायाम 4.21: एक गेम में आप प्रायिकता $ \ frac {1} {20} $ के साथ \ $ 10 जीतते हैं और प्रायिकता में $ 1 खो देते हैं$\frac{19}{20}$। पहले 200 खेलों के बाद आप $ 100 से कम हारने की संभावना का अनुमान लगाएं। 300 खेलों के बाद यह संभावना कैसे बदलेगी?
प्रयास करें :
सबसे पहले, हम एक ही चर में जीत और हार को एक साथ दिखाते हैं। परिभाषित करें \ {समीकरण *} W_n = 10S_n - (n - S_n) \ end {समीकरण *} शुरू करें, जहां $ W_n $ $ n $ गेम्स के बाद जीत को दर्शाता है और $ S_n $ $ n $ गेम्स में जीत की संख्या को परिभाषित करता है । इस प्रकार, \ start {समीकरण *} P (W_n \ geq 100) = P (11S_n - n> -100) = P \ biggr (S_n> \ frac {n - 100} {11} \ biggr)। \ n {समीकरण *} अब, हम $ n $ के विभिन्न मूल्यों के साथ, किसी भी मामले में केंद्रीय सीमा प्रमेय को लागू करते हैं ।
चलो $ = n $ 200 है, तो $ S_n \ सिम बिन (200, \ frac {1} {20}) $ । इस प्रकार हम $ S_n> \ frac {100} {11} $ की कामना करते हैं । इसके अलावा, $ E [S_n] = 200 \ cdot \ frac {1} {20} = 10 $ और Var $ (S_n) = 200 \ cdot \ frac {1} {20} \ cdot \ frac {19} {20} = \ frac {19} {2}। $ इस प्रकार, यह निरंतरता सुधार के साथ CLT से इस प्रकार होता है कि \ समीकरण {समीकरण *} P \ biggr (\ frac {\ frac {100} {11} - 10} {\ sqrt} \ frac {19} {2}}} <\ frac {S_n - 10} {\ sqrt {\ frac {19} {2}}} \ biggr) \ लगभग 1 - \ Phi (-0.457169) \ _ लगभग 0.6772। \ अंत {समीकरण *}
अब, पुस्तक 200 खेलों के पहले मामले के लिए एक अलग उत्तर देती है, जो 0.5636 का है। मैं अगले मामले पर आगे बढ़ने से पहले अपनी गलती को समझना चाहता हूं
सहज रूप से यह $ S_n> \ frac {100} {11} $ की स्थिति के रूप में भी समझ में आता है, सामान्य वितरण की घंटी वक्र के शीर्ष के पास $ होना चाहिए, क्योंकि 10 का अपेक्षित मूल्य $ \ frac / 100 * के करीब है {११} $ । हालाँकि, मेरे जीवन के लिए मैं अपनी गणना में त्रुटि नहीं देख सकता।
(इस प्रश्न के लिए अन्य मैथ स्टैक एक्सचेंज प्रश्न ने मेरे लिए अनिवार्य रूप से कुछ भी स्पष्ट नहीं किया है, इसलिए यह पोस्ट है।)
मौका के खेल में $ 100 से कम खोना।
जवाब
अगर $X$ में जीत की यादृच्छिक संख्या है $n$ खेल, फिर $$X \sim \operatorname{Binomial}(n = 200, p = 0.05)$$ और शुद्ध जीत / हानि यादृच्छिक चर है $$W = 10X - (n-X) = 11X - n.$$ इस प्रकार $$\Pr[W > -100] = \Pr[11X - 200 > -100] = \Pr[X \ge 10].$$ यह अंतिम अभिव्यक्ति इस तथ्य के कारण है कि $X$भिन्नात्मक मूल्यों को नहीं ले सकते। इसके फलस्वरूप,$$\Pr[X \ge 10] = 1 - \sum_{x=0}^{9} \binom{200}{x} (0.05)^x (0.95)^{200-x} \approx 0.54529\ldots.$$ यह सटीक संभावना है: यहां केवल सन्निकटन अंश के दशमलव में गोल है।
यह इस बात की भी महत्वपूर्ण जानकारी देता है कि आपका उत्तर गलत क्यों है: सिर्फ इसलिए कि आप निरंतरता सुधार के साथ एक सामान्य सन्निकटन का उपयोग कर रहे हैं इसका मतलब यह नहीं है कि परिणाम $W$ आप इच्छित संभावना में शामिल करना चाहते हैं के लिए नमूना स्थान के बाहर हो सकता है $W$।
उदाहरण के लिए, यदि $U \sim \operatorname{Binomial}(n = 500, p = 0.5)$, और मैं तुमसे माँगता हूँ $\Pr[U < 225.999]$, आपको पहले लिखना होगा $\Pr[U < 225.999] = \Pr[U \le 225]$, तो आप इसे लगभग अनुमानित सुधार के रूप में लागू करते हैं$$\Pr\left[Z \le \frac{225.5 - 250}{5 \sqrt{5}}\right].$$वही यहाँ लागू होता है; इस प्रकार$$\Pr[W > -100] = \Pr[X \ge 10] \approx \Pr\left[\frac{X - 10}{\sqrt{9.5}} \ge \frac{9.5 - 10}{\sqrt{9.5}}\right] \approx \Pr[Z \ge -0.162221] \approx 0.564434.$$ जाहिर है, गणना पूरा करने से पहले आपका पाठ राउंडिंग है, या यह एक सामान्य मानक तालिका लुकअप का उपयोग कर रहा है जो कि प्रक्षेप के बिना है $\Pr[Z \ge -0.16] \approx 0.563559$। किसी भी मामले में, सन्निकटन$$\Pr[Z \ge -0.457169] \approx 0.676225$$ बहुत दूर भटकता है।