का अभिन्न कर्नेल $e^{itH_{0}}$

Question

क्वांटम यांत्रिकी में, एक-कण प्रणाली का समय-विकसित राज्य द्वारा दिया जाता है $\psi(x,t) = e^{-itH_{0}}\psi_{0}(x)$, कहां है $H_{0} = \frac{1}{2}\Delta$ मुफ्त हैमिल्टन है, $t\in \mathbb{R}$ तथा $\Delta$सामान्य लाप्लास ऑपरेटर है। मैंने कहीं देखा है कि दोनों$e^{itH_{0}}$ तथा $e^{tH_{0}}$अभिन्न गुठली, अर्थात \ _ {eqnarray} (e ^ {- itH_ {0}} \ varphi) (x) = \ int _ {\ _ mathbb {R} ^ {d}} K_ 0} (x, y, t) शुरू करें। ) \ varphi_ {0} (y) डाई \ टैग {1} \ लेबल {1} \ end {eqnarray} और \ start {eqnarray} (e ^ {- tH_ {0}} \ varphi) (x) = \ int_ {मैथबब {आर} ^ {d}} \ tilde {K} _ {0} (x, y, t) \ varphi_ {0} (y) डाई \ टैग {2} \ लेबल {2} \ अंत {Eqnarray } कहाँ$K_{0}(x,y,t) = (2\pi i t)^{-d/2}e^{i\frac{(x-y)^{2}}{2t}}$ तथा $\tilde{K}(x,y,t) = (2\pi t)^{-d/2}e^{\frac{(x-y)^{2}}{2t}}$।

प्रश्न: मैं कैसे साबित कर सकता हूं (\ ref {1}) और (\ ref {2})?

Answer 1

मूल रूप से हमारे पास एक पीडीई है $\partial_t \varphi(t,\vec{x}) = \alpha \, \Delta\varphi(t,\vec{x}).$

फूरियर रूपांतरण में ले रहा है $\vec{x}$ ODE में तर्क परिणाम $\partial_t \hat{\varphi}(t,\vec{k}) = -\alpha \, |\vec{k}|^2 \, \hat{\varphi}(t,\vec{k})$ समाधान के साथ $$ \hat{\varphi}(t,\vec{k}) = e^{-\alpha \, |\vec{k}|^2 t} \hat{\varphi}(0,\vec{k}). $$

दाहिने हाथ की ओर दो कार्यों का एक उत्पाद है $\vec{k}$ और इसलिए एक दृढ़ संकल्प के फूरियर रूपांतरण है: $$ \varphi(t,\vec{x}) = \left(u(t,\cdot)*\varphi(0,\cdot)\right)(\vec{x}), $$ कहां है $\hat{u}(t,\vec{k}) = e^{-\alpha \, |\vec{k}|^2 t}.$

अगर $\operatorname{Re}\alpha \geq 0$ तब फिर $\hat{u}$ में परिणत किया जा सकता है $$ u(t,\vec{x}) = (2\pi\alpha t)^{-d/2}e^{-\frac{|\vec{x}|^{2}}{2\alpha t}}. $$

इस प्रकार, $$ \varphi(t,\vec{x}) = \int_{\mathbb{R}^d} (2\pi\alpha t)^{-d/2}e^{-\frac{|\vec{x}-\vec{y}|^{2}}{2\alpha t}} \, \varphi(0,\vec{y}) \, d^dy. $$