का मौलिक समूह $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n}$

Question

मैं के मौलिक समूह की गणना करना चाहता हूं $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n}$संभवतः वान कम्पेन प्रमेय का उपयोग करते हुए, एसई पर एक और स्रोत है जो जटिल प्रक्षेप्य स्थान बस जुड़ा हुआ है? लेकिन यह मेरे वास्तविक ज्ञान से परे है।

ऐसा लगता है कि होमोलॉजी का उपयोग किए बिना वास्तविक और जटिल प्रक्षेप्य मौलिक समूह की गणना के बीच बहुत अंतर है, क्योंकि मुझे शास्त्रीय पुस्तकों पर कोई भी सामग्री नहीं मिली है।

क्योंकि मैं पहले से ही जानता हूं कि मैं इंडक्शन द्वारा आगे बढ़ना चाहता हूं $\mathbb{C}\mathbb{P}^{1} \sim \mathbb{S}^{2}$बस जुड़ा हुआ है। आगमनात्मक कदम के लिए मैं परिभाषित करना चाहते हैं$A = \mathbb{C}\mathbb{P}^{n}- H$, कहाँ पे $H = \left\lbrace [x_{0} : \cdots : x_{n}] : x_{0} = 0\right\rbrace$ तथा $B = \mathbb{C}\mathbb{P}^{n}-[1 : \cdots : 0]$

मुझे पता है $A$ होमोमोर्फिक है $\mathbb{C}^{n}$इसलिए यह तुच्छ मौलिक समूह है। मैं यह साबित करना चाहता हूं$H$ एक विरूपण है $B$ यह निष्कर्ष निकालने के लिए कि यह बस के रूप में अच्छी तरह से जुड़ा हुआ है और समाप्त होने के बाद से चौराहा पथ जुड़ा हुआ है।

मैं वास्तव में कैसे ठीक से (यानी औपचारिक रूप से) विरूपण को नष्ट नहीं करता $H$। इसे करने के सरल तरीके या अच्छे तरीके हैं?

कोई मदद, संकेत या समाधान जो सामान्य टोपोलॉजी की तुलना में किसी भी सिद्धांत की आवश्यकता नहीं है और वान कम्पेन का उपयोग करने की सराहना की जाएगी।

Answer 1

शायद इससे मदद मिलती है। आप प्राप्त कर सकते हैं$\mathbb CP^n$ से $\mathbb CP^{n-1}$ आयाम की एक डिस्क gluing द्वारा $2n$ विहित मानचित्र का उपयोग करना $S^{2n-1}\to \mathbb CP^{n-1}$। इसलिए, आइए हम उस स्थिति पर विचार करें$X$ से प्राप्त किया जाता है $Y$ जैसा $Y\cup_f e^{2n}$, पे शुरुवात $n=1$। दावा तो यह है कि यदि$X$ बस जुड़ा है तो ऐसा है $Y$। वास्तव में, यह उस नक्शे का पालन करना चाहिए$Y\to X$ जहाँ सेल जोड़ा जाता है उस पर एक आइसोमॉर्फिज़्म प्रेरित करता है $\pi_1$।

इसे देखने के लिए, एक लूप पर विचार करें $X$। तर्क (कॉम्पैक्टनेस या अन्यथा) कि लूप को कम से कम एक बिंदु को याद करने के लिए माना जा सकता है$e^{2n}$। एक बार यह हो जाने के बाद, आप एक बिंदु को हटाने वाले तथ्य का उपयोग कर सकते हैं$e^{2n}$ आपको इसे वापस लेने की अनुमति देता है $Y$, और इस स्थान में लूप सिकुड़ा हुआ है।

जोड़ें । नक्शा$S^{2n+1}\to \mathbb CP^n$यहाँ भी थोड़ा अधिक सीधे इस्तेमाल किया जा सकता है। यह दिखाता है कि$ \mathbb CP^n$ का भागफल है $S^{2n+1}$ की कार्रवाई से $S^1$। वास्तव में, यह प्रक्षेपण एक कंपन है, और आपके पास होमोटोपी समूहों का एक लंबा सटीक अनुक्रम है जो आपको होमोटोपी समूहों का सटीक विवरण देता है$ \mathbb CP^n$। देखें यहाँ ।