कटौती सिद्धांत - व्याख्या

Question

रॉबर्ट एस। वुल्फ द्वारा "ए लॉजिकल थ्रू गणितीय तर्क" पुस्तक में, कटौती प्रमेय इस प्रकार है:

यदि टी $\cup$ {P} $\vdash$ क्यू, फिर टी $\vdash$ (पी $\to$ क्यू)

जहाँ T एक प्रथम-क्रम सिद्धांत है और P & Q कुछ सूत्र हैं, इस प्रथम-क्रम सिद्धांत की भाषा में। फिर, कटौती-प्रमेय की निम्नलिखित व्याख्या सही है?

यदि Q T से व्युत्पन्न / सिद्ध है $\cup$ {P}, तो कोई कह सकता है कि - यदि P T से व्युत्पन्न है (यानी P, T का प्रमेय है) तो Q भी T से व्युत्पन्न है।

इसके अलावा, क्या यह व्याख्या कटौती सिद्धांत का सार पकड़ती है?

पुनश्च: एक अन्य प्रश्न जिसका शीर्षक Deduction Theorem - Intuition है , मुख्य रूप से प्रमेय के वाक्यात्मक पहलुओं पर ध्यान केंद्रित करता है और सामान्य रूप से कैलकुलस की भविष्यवाणी करता है - बजाय इसके शब्दार्थों पर।

Answer 1

कटौती-प्रमेय की निम्नलिखित व्याख्या सही है?

नहीं, आप जो लिख रहे हैं

अगर $T \cup \{P\} \vdash Q$, तो अगर $T \vdash P$, फिर $T \vdash Q$।

यह कहने जैसा ही है

(१) यदि $T \cup \{P\} \vdash Q$, फिर $T \nvdash P$ या $T \vdash Q$।

लेकिन यह इसके बराबर नहीं है

(२) यदि $T \cup \{P\} \vdash Q$, फिर $T \vdash P \to Q$।

यह मामला हो सकता है कि $P$ सिद्ध नहीं है, लेकिन $P \to Q$या तो नहीं है। फिर "$T \nvdash P$ या $T \vdash Q$"रखती है, लेकिन"$T \vdash P \to Q$"ऐसा नहीं है। (1) $\not \Rightarrow$ (2)।

यह "तुच्छीकरण": "यदि" टिप्पणियों में अभिप्रेत है $T \vdash P$ फिर $T \vdash Q$"(= आपने जो लिखा है) यदि तुच्छ रूप से सत्य है तो $T \nvdash P$, अर्थात यदि $P$अप्राप्य है। परंतु "$T \vdash P \to Q$"(= क्या कटौती प्रमेय बताता है) नहीं: सिर्फ इसलिए कि हम साबित नहीं कर सकते $P$ इसका मतलब यह नहीं है कि हम साबित कर सकते हैं $P\to Q$- जैसा कि आपने देखा। इसलिए क्यों "$T \vdash P \to Q$"एक मजबूत दावा है कि" यदि $T \vdash P$ फिर $T \vdash Q$"।

---

कटौती प्रमेय का सार यह है कि आप एक प्रमेय पर एक खुली धारणा पर निर्भर होने और सशर्त बयान साबित करने के बीच "फ्लिप-फ्लॉप" कर सकते हैं:
यदि कोई सबूत है$Q$ जो अभी भी धारणा पर निर्भर है $P$, तब कथन के सिद्धांत में एक प्रमाण होगा $P \to Q$। यह सशर्त प्रूफ तकनीक का तत्काल प्रभाव है (पृष्ठ 14 देखें)।
और कटौती प्रमेय की दिशा के लिए, यदि आप साबित कर सकते हैं$P \to Q$, तब आप सिद्ध कर पाएंगे $Q$ उस धारणा के तहत $P$। यह अनुमान के मोडस पॉन्सन नियम का परिणाम है (देखें पृष्ठ 13)।
संयुक्त रूप से दो दिशाओं में कटौती प्रमेय का औचित्य सिद्ध होता है जिसका प्रमाण हमारे पास है "$\to$"।

---

आप यह इंगित करने में पूरी तरह से सही हैं कि औपचारिक प्रणाली की केंद्रीय धारणा सत्य के बजाय प्रमाण की है। लेकिन ध्यान रखें कि हम आम तौर पर एक "उपयोगी" प्रूफ सिस्टम को डिजाइन करने में रुचि रखते हैं जो "सत्य के विचार" के अनुरूप है: एक सिद्धांत को सिद्धांत रूप में तब सिद्ध किया जाना चाहिए जब वह सिद्धांत के सभी मॉडलों में सत्य हो। । आखिरकार, एक सबूत प्रणाली की बात यह है कि हम सच मानने वाले बयानों को सख्ती से साबित करने के लिए एक यांत्रिक उपकरण रखते हैं। तो जबकि एक सबूत की धारणा है$\to$ निष्कर्ष के नियमों के संदर्भ में तैयार किया गया है, जिस तरह से इन नियमों का उपयोग किया जाता है वह सच्चाई की तालिका को दर्शाता है $\to$: एक प्रूफ सिस्टम होना चाहिए (और वुल्फ की पुस्तक में प्रस्तुत प्रूफ सिस्टम के लिए) साउंड राइट शब्दार्थ है: जो साबित किया जा सकता है वह सभी संरचनाओं में सत्य (सत्य तालिका परिभाषा के अनुसार) है; प्रणाली (उम्मीद है) यादृच्छिक बकवास साबित नहीं होती है।