के जनक $S_4$

Question

समूह $S_4$ द्वारा उत्पन्न होता है $\{(12), (1234)\}$.अब कुछ जो मैं जानना चाहता हूं वह यह है कि मैं आदेश के चक्र से कैसे उत्पन्न करूंगा $4$ और क्रम का कोई भी चक्र $3$ और आदेश $2$।

मेरा मुख्य प्रश्न समरूपता की संख्या का पता लगाना है, और यदि है $\varphi(1234) \to -1$ तथा $\varphi (12) \to -1$।

फिर मैं यहां से कैसे निष्कर्ष निकालूंगा कि कोई भी विषम क्रमबद्धता चली जाएगी $-1$ और किसी को भी जाना होगा $1$। (इसे क्रूड कैलकुलेशन के द्वारा दिखाया जाना है न कि होमोमोर्फिज्म प्रमेय का उपयोग करके)।

मुझे वास्तव में कुछ मदद चाहिए।

Answer 1

कोई भी अजीब क्रमपरिवर्तन $π$ में एक शब्द के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए $(12)$ तथा $(1234)$ विषम लंबाई का $n$, क्योंकि दोनों विषम हैं। इस प्रकार$\varphi(π)=(-1)^n=-1$, जबसे $\varphi$ एक समरूपता है।

Answer 2

एक प्रतिनिधित्व सिद्धांत का उपयोग करना (देखें) https://math.stackexchange.com/q/3842441/432081) मैं काम कर रहा हूं, मैंने एक स्ट्रिंग प्रसंस्करण अजगर कार्यक्रम को क्रमपरिवर्तन के लिए विकसित किया है। चरण दर चरण मैंने अपने कार्य समूह के सबसेट का आकार बढ़ाया; एक और केवल एक मानक प्रतिनिधित्व है।

$\tau = (12)$

$\sigma = (1234) = (12)\,(23) \,(34)$

$\sigma^2 = (13)\,(24)$

$\sigma^3 = (14)\,(24)\,(34)$

$\tau\sigma = (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2 = (13) \, (24) \, (34)$

$\tau\sigma^3 = (14)\,(34)$

$\sigma\tau = (13) \,(34)$

$\sigma^2\tau = (14) \, (23) \, (34)$

$\sigma^3\tau = (24)\,(34)$

$\tau\sigma\tau = (13) \, (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2\tau = (14) \, (23)$

$\tau\sigma^3\tau = (12) \, (24) \,(34)$

$\sigma^2\tau\sigma^2 = (34)$

यहां से आप शेष को 'छील' सकते हैं $5$ किसी भी ट्रांसपोज़िशन के लिए ट्रांसपोज़िशन और समझाएँ $\omega$,

$\quad \varphi(\omega) = -1$