के-थ्योरी $C^{*}(X)$

Question

मैं K- थ्योरी के लिए नया हूं $C^{*}$-बैलेंज और $C^{*}$-ग्रुपों का समूह।

अगर $X$ प्राकृतिक संख्याओं के परिमित सहायता जीवों का समूह है तो K-Theory का क्या है $C^{*}(X)$?

मैं गणना करने की योजना बना रहा था $C^{*}(X)$ पहले और फिर इसके अनुमान और उनके होमोटॉपी वर्ग लेकिन मैं निर्धारित करने में विफल रहा $C^{*}(X)$ पहली जगह में।

यहाँ की परिभाषा है $C^{*}$-समूह का समूह:

https://pages.uoregon.edu/ncp/Courses/2016ShanghaiCrPrdFiniteGps/Slides/Lecture1_Print_NoP.pdf

कोई भी मेरी मदद कर सकता हैं?

बहुत बहुत धन्यवाद।

Answer 1

आपके द्वारा वर्णित समूह अनंत सममित समूह होना चाहिए $S_{\infty}$। $K$इसका सिद्धांत $C^*$-एल्जेब्रा केरोव और वर्शिक द्वारा निर्धारित किया गया है

अनंत सममित समूह का K-Functor (Grothendieck group) https://link.springer.com/article/10.1007/BF02104985

मुख्य परिणाम निम्नानुसार संक्षेपित किया जा सकता है: लेट $\mathcal{A}$अनंत रूप से कई चर में सममित बहुपद की अंगूठी हो। यह आइसोमॉर्फिक है$\mathbb{Z}[a_1, a_2, \dots]$, कहाँ पे $a_i$ है $i$वें प्राथमिक सममिति फ़ंक्शन एक अपरिमित तर्क में। फिर$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \mathcal{A}\,/\, (a_1 - 1)\mathcal{A}\ . $$ आइसोमॉर्फिज्म इरेड्यूसबल प्रतिनिधित्व भेजता है $\pi_{\lambda}$ यंग आरेख के अनुरूप $\lambda$ करने के लिए इसी Schur समारोह के लिए $\lambda$। यह छल्ले का एक समरूपतावाद भी है, जहां बाएं हाथ की तरफ की अंगूठी की संरचना अवलोकन से आती है$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \lim_n K_0(C^*S_n) $$ और दो अभ्यावेदन गुणा करता है $\pi_1 \colon S_n \to GL(V)$ तथा $\pi_1 \colon S_m \to GL(W)$ सेवा $$ Ind_{S_n \times S_m}^{S_{n+m}}(\pi_1 \otimes \pi_2)\ , $$ कहाँ पे $S_n \times S_m$ अंदर बैठता है $S_{n+m}$ साथ में $S_n$ पहले की अनुमति $n$ तत्वों और $S_m$ दूसरे की अनुमति देना $m$।