की कक्षाओं $SO(3)$

Question

अस्वीकरण: इस प्रश्न के कई संपादन थे; यह एक मामले का इलाज करता है$k=\mathbb{R}$, जबकि मैं जटिल मामले के लिए एक और एक पोस्ट करूँगा।

की कार्रवाई पर विचार करें $SO(3)$ पर $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$, समरूप निर्देशांक के साथ $x_0,x_1,x_2$रूप में $$SO(3)\times\mathbb{P}^2\to \mathbb{P}^2$$ $$(A,p)\mapsto Ap.$$ मैं यह समझना चाहता हूं कि इस क्रिया की थ्रू ऑर्बिट्स क्या हैं, और यह समझें कि क्या एक्शन सकर्मक है, यानी $SO(3)\simeq \mathbb{P}^2$ वह तब से है $SO(3)/SO(3)_p\simeq SO(3)p$और मैं अध्ययन करना चाहूंगा $$SO(3)/SO(3)_p.$$ ऐसा करने के लिए मैंने सरलता को कविता माना $p=(1:0:0)$, और मैंने पाया है कि $$SO(3)_p=\{A\in SO(3)\mid \text{the first columns of $ए$ is equal to $पी$}\}.$$ निष्कर्ष निकालने के लिए, मुझे यह दिखाना चाहिए कि एक बिंदु दिया गया है $y\in \mathbb{P}^2$, एक मैट्रिक्स मौजूद है $B\in SO(3)$ ऐसा है कि $Bp=y$, यानी का पहला कॉलम $B$ के बराबर है $y$। दुर्भाग्य से अब मैं फंस गया हूं, क्योंकि मुझे नहीं पता कि बस एक कॉलम से एक मैट्रिक्स कैसे बनाया जाए$y$।

Answer 1

आपको एक मैट्रिक्स की आवश्यकता है $B$ ऐसा है कि $Bp$ के लिए आनुपातिक है $y$ (के बारे में सोचना $y$ में एक वेक्टर के रूप में $\Bbb R^3$) का है। इसलिए पहला कदम प्रतिस्थापित करना है$y$ साथ से $y/\|y\|$, ताकि यह एक इकाई वेक्टर हो। फिर आपको एक रोटेशन मैट्रिक्स की आवश्यकता है जिसका पहला कॉलम है$y$। अन्य दो स्तंभों को ऑर्थोगोनल होना चाहिए$y$, और उन्हें सकारात्मक रूप से उन्मुख होना होगा। तो यहाँ एक निर्माण है:

की सबसे छोटी प्रविष्टि दें $y$, निरपेक्ष मूल्य में, हो $i$ध। लश्कर$w = e_i$। गणना करना$$ v = w - w \cdot y $$ जो रूढ़िवादी है $y$ (यह शून्य क्यों नहीं हो सकता है? यह आपके लिए एक अभ्यास है), और फिर चलो $$ u = v / \| v \| $$ जो एक इकाई वेक्टर ऑर्थोगोनल है $y$। तो करने दें$B$ कॉलम के साथ एक मैट्रिक्स हो $y, u, $ तथा $y \times u$।

लेकिन ध्यान दें कि यह हर बिंदु के लिए काम करता है $y$नहीं, बस अपने वक्र पर उन $C$, तो मैं वास्तव में समझ में नहीं आता कि यह आपकी समस्या को कैसे संबोधित करता है। मैंने शायद कुछ गलत समझा है।