क्या इस $\epsilon$-$\delta$ सीमा सही?

Question

मुझे वह दिखाना होगा $\lim_{x\to2}x^2+x+1=7$ उसके साथ $\epsilon$-$\delta$मर्यादा की परिभाषा। यहाँ मैंने इसे कैसे किया है:$\left\lvert x^2+x-6\right\rvert=\lvert x−2\rvert\lvert x+3\rvert<\epsilon$ और जब से हम करीब हैं $2$, हम यह मान सकते हैं कि $\delta$-खून $c=2$ अधिकतम का त्रिज्या होना चाहिए $\delta=1$ जिसका तात्पर्य है: $\lvert x-2\rvert < \frac{\epsilon}{6}$। अब हम चुनते हैं$\delta = \min\{3,\frac{\epsilon}{6}\}$ और हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यदि $\lvert x−2\rvert<\delta$, यह इस प्रकार है कि $\left\lvert x^2+x+1-7\right\rvert < 6\frac{\epsilon}{6}=\epsilon$। क्या यह गणना सही है? क्या मुझे कुछ याद है? या कुछ विवरण?

Answer 1

आम तौर पर, इससे पहले कि मैं एक उत्तर प्रस्तुत करूं, मैं ओपी के प्रश्न का उत्तर दूंगा और किसी त्रुटि या चूक को इंगित करूंगा। मैं बस यहाँ ऐसा नहीं कर सकता। मुझे टेड शिफरीन की टिप्पणी से सहमत होना होगा।

चलो $f(x) = x^2 + x + 1.$

साबित करना:

$\forall \epsilon > 0 ~\exists ~\delta > 0~$ ऐसा है कि
$|f(x) - 7| < \epsilon~$ जब कभी $~0 < |x - 2| < \delta.$

मैं इसे एक पूर्ण समाधान के रूप में प्रस्तुत करूंगा, जिसमें दिखाया जाएगा कि आप किस तरह के बीच के रिश्ते को शिल्प करते हैं $\delta$ तथा $\epsilon$।

मान लो कि $(2-\delta) < x < (2 + \delta)$। फिर

• $4 - 4\delta + \delta^2 < x^2 < 4 + 4\delta + \delta^2.$

• $2 - \delta < x < 2 + \delta.$

इसलिए, $7 - 5\delta + \delta^2 < f(x) < 7 + 5\delta + \delta^2.$

पहली बात यह स्थापित करना है कि उन बाधाओं में से एक है जिन्हें लगाया जाएगा $\delta$ क्या वह $\delta < 1.$

यह होगा की गारंटी है कि$0 < \delta^2 < \delta.$

इस बाधा के साथ,

$$7 - 5\delta < f(x) < 7 + 6\delta.$$

इसका मतलब है कि किसी के लिए भी $0 < \delta < 1,$ अगर $\epsilon$ होने से अधिक$6\delta$, फिर $$|f(x) - 7| < \epsilon.$$

तो एक आसान समाधान है (उदाहरण के लिए) सेट $\delta = \min\left[0.9, (\epsilon/10)\right].$

Answer 2

यह वास्तव में उतना ही सरल है जितना आप इसे बना रहे थे, हालांकि गलतियाँ हैं और यह बुरी तरह से लिखा गया है। आपने सही ढंग से महसूस किया कि किसी एक को बांधना महत्वपूर्ण है$|x-2|, |x+3|$, अर्थात् $|x-2|$।

के साथ शुरू करना मानक है $\delta := 1$ क्योंकि यह हमें छोटे के साथ काम करने के लिए अधिक जानकारी देता है $\epsilon$विशेष रूप से जब हमारे पास है $0 < \epsilon < 1$।

याद रखें कि हम इस सीमा पर विचार कर रहे हैं $x$ दृष्टिकोण $2$, इसलिए हमें पहले यह देखना होगा कि कैसे प्रतिबंधित किया जाए $x$, कभी-कभी आपको ऐसा करना चाहिए और इस मामले में विशेष रूप से, क्योंकि हमें जोड़ने की आवश्यकता है $5$ के लिये $|x+3|$ जबकि अभी भी यह किसी तरह से बंधा हुआ है (अन्यथा $x$ जहां नकारात्मक संख्या हो सकती है $|x|$ बहुत बड़ी है)।

कहा जा रहा है, हम प्रतिबंधित कर सकते हैं $x$ चारों ओर $2$ ऐसा है कि $1 < x < 3$ ताकि $|x-2| < 1:\delta_{1} $ तथा $4 < x+3 <6 \implies |x+3| < 6$।

इसलिए, यदि हम चुनते हैं $\delta_{1} := 1$, हम देखते हैं कि हमारा दूसरा कार्यकाल किससे बंधा है।

अब हम चुन सकते हैं $\delta_{2}$ ताकि $|x-2| < \delta_{2} = \frac{\epsilon}{6}.$

इसलिए, कुछ मनमानी के लिए $\epsilon > 0$ अगर हम लेते हैं $\delta:=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}$, फिर $|x^{2}+x-6| =|x-2||x+3| < \frac{\epsilon}{6}\cdot 6 = \epsilon$।

Answer 3

हम डालते है $f(x) = x^2 +x+1$

हम यह साबित कर सकते हैं: $|f(x) - l|<\delta $ $ \Rightarrow $ $ |x-a|<\alpha $

$\alpha , \delta > 0$

$|f(x) - l|= |x^2 +x+1-7|=|x^2 +x-6|=|x-2||x+3|$

$|f(x) - l|<\delta$

$\Rightarrow $ $|x-2||x+3|<\delta$

मान लीजिए $x\in [\frac{3}{2}, \frac{5}{2}] $

$\Rightarrow $$\ frac {9} {2} \ leq x + 3 \ leq \ frac {11} {2} $

$ \ RightArrow $$|x+3|\leq \frac {11}{2} $

$\Rightarrow $$| x-2 || x + 3 | \ leq \ frac {11} {2} | x-2 | $ |

हम जानते हैं कि :

$ | एक्स 2 || x + 3 | <\ डेल्टा $

इसलिए:

$ \ frac {11} {2} | x-2 | <\ डेल्टा $

$ \ Rightarrow $ $ | x-2 | <\ frac {2} {11} \ delta $

हमने $ \ Alpha = \ frac {2 \ delta} {11} $ डाला

अंत में: लिमिट की परिभाषा के बाद हमने $ \ lim_ {x \ to 2} f (x) = 7 $ साबित किया