क्यों $\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$?

Question

मेरी समस्या:

मान लीजिए $\mathcal{E}$ तथा $\mathcal{H}$ उप हैं-$\sigma$-एल्जब्रस ऑफ द $\sigma$-algebra $\mathcal{F}$। लश्कर$X \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ तथा $\sigma(X)=\{X^{-1}(A): A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \}$। मान लो कि$\mathcal{E}$ से स्वतंत्र है $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$।

फिर $$\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$$

मेरा प्रयास:

मैंने चरित्र चित्रण का उपयोग करने की कोशिश की $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]Z]$ सबके लिए $\mathcal{H}$-अनुशासित और बाध्य यादृच्छिक चर या $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\sigma(X))]Z]$ सबके लिए $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$-अनुशासित और बाध्य यादृच्छिक चर।

Answer 1

यह Doob द्वारा एक ज्ञात परिणाम है।

प्रमेय: चलो$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ तथा $\mathscr{C}$ उप हो$\sigma$- काजल $\mathscr{F}$। $\mathscr{A}\perp_\mathscr{C} \mathscr{B}$ आईएफएफ $$ \begin{align} \Pr[A|\sigma(\mathscr{C},\mathscr{B})]=\Pr[A|\mathscr{C}]\tag{1}\label{doob-independence} \end{align} $$ सबके लिए $A\in \mathscr{A}$।

यहाँ एक शॉट सबूत है:

मान लो कि $\mathscr{A}$ तथा $\mathscr{B}$ सशर्त स्वतंत्र दिए गए हैं $\mathscr{C}$, अर्थात् $$ \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr[A|\mathscr{C}] \Pr[B|\mathscr{C}] $$ सबके लिए $A\in \mathscr{A}$ तथा $B\in \mathscr{B}$। फिर, किसी के लिए$A\in\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ तथा $C\in\mathscr{C}$ हमारे पास है $$ \begin{align} \Pr\big[A\cap\big(C\cap B)\big]&=\Pr\big[ \mathbb{1}_C\Pr[A\cap B|\mathscr{C}]\big]= \Pr\big[\mathbb{1}_C\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}]\big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B\cap C|\mathscr{C}]\big]= \Pr\Big[\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big|\mathscr{C}\big]\Big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big] \end{align} $$ जबसे $\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})=\sigma\Big(\{B\cap C: B\in\mathscr{B}, C\in\mathscr{C}\}\Big)$, एक मोनोटोन वर्ग तर्क से पता चलता है कि $$ \begin{align} \Pr[A\cap H]=\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_H \big] \end{align} $$ सबके लिए $H\in\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})$। इस का मतलब है कि$$ \Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]=\Pr[A|\mathscr{C}] $$

इसके विपरीत, मान लीजिए कि $\eqref{doob-independence}$आयोजित करता है। किसी के लिए$A\in\mathscr{A}$ तथा $B\in\mathscr{B}$ हमारे पास है \begin{align*} \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr\Big[\mathbb{1}_{B}\Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]\Big| \mathscr{C}\Big]= \Pr\Big[\mathbb{1}_B\Pr[A|\mathscr{C}]\Big|\mathscr{C}\Big] =\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}] \end{align*} यह दर्शाता है कि $\mathscr{A}$ तथा $\mathscr{B}$ स्वतंत्र दिए गए हैं $\mathscr{C}$।

यादृच्छिक चर का विस्तार पहले साधारण कार्यों के लिए और फिर साधारण कार्यों द्वारा सामान्य मोनोटोन सन्निकटन के विस्तार से किया जाता है।