मैट्रिक्स मानदंडों पर बाध्य करें
मैं निम्नलिखित साबित नहीं कर सकता
\ start \ समीकरण} \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ _ | A \ _ | \ _ infty leq \ _ A \ _ | _2 \ leq \ sqrt {n} \ | A \ | _ \ _ infty, \ _ अंत {} समीकरण
कहाँ पे $A$ आकार का एक वर्ग मैट्रिक्स है $n$।
मेरा प्रयास:
परिभाषा से $$|| A|| = \sup_{ ||x||_2=1} ||A x||_2$$
तो मेरे पास है:
$$\sqrt{\Bigl( \sum_j a_{1j}x_j \Bigr)^2 + \ldots + \Bigl(\sum_j a_{nj}x_j \Bigr)^2} \leq \sqrt{\Bigl(\sum_j |a_{1j}|^2 + \ldots + \sum_j |a_{nj}|^2 \Bigr) \sum_j |x_j|^2}$$
इसलिए, वर्चस्व को लेकर $||x||_2=1$ मैं अंतिम अभिव्यक्ति के साथ बंधे $$\sqrt{\Bigl(\sum_j |a_{1j}|^2 + \ldots + \sum_j |a_{nj}|^2 \Bigr)}$$
अब, मेरे पास वह है $$\sum_j |a_{1j}| \leq \max_{i=1,\ldots,n} \sum_j |a_{ij}| = ||A||_{\infty}$$
इसलिए मैं अंतिम अभिव्यक्ति के साथ चर्चा कर सकता हूं $\sqrt{n ||A||_{\infty}^2}=\sqrt{n} ||A||_{\infty}$, दूसरी असमानता साबित करना
यह अभी तक सही लगता है, लेकिन मैं अन्य असमानता को साबित नहीं कर सकता: मैं कैसे कर सकता हूं?
जवाब
हमे जरूरत है
लेम्मा। कॉची-श्वार्ज़ असमानता का अर्थ है कि प्रत्येक के लिए$n$-वेक्टर $x$ यह धारण करता है
$$\| x \|_1^2 \leq \| x \|_2^2n.$$
अब लिखें $A = (A_1, \dots, A_n)^\intercal$, कहाँ पे $A_i$ है $i$-इसकी पंक्ति $A$। की परिभाषा के द्वारा$\| \cdot \|_\infty$ वहां पर एक $A_j$ ऐसा है कि
$$ \lVert A\rVert_\infty = \max_{1\leq i\leq n }\lVert A_i\rVert_1 = \lVert A_j\rVert_1 = \sum_{k=1}^n \left|A_{i,j}\right|. $$
लेम्मा का उपयोग करने का तात्पर्य है
$$\| A \|_\infty^2 = \|A_j\|_1^2 \leq \|A_j\|_2^2 n \leq \sum_{i = 1}^n \|A_i\|_2^2 n = \|A\|_2^2 n. $$
द्वारा विभाजित $n$ और वर्गमूल लेने से अभिकथन होता है।