$\mathbb{P}(X>Y)$ और समान वितरण

Question

मुझे समझ में नहीं आता कि, एक त्रिभुज को परिभाषित क्यों किया गया $(0,0)$,$(0,2)$ तथा $(2,0)$ और एक संयुक्त घनत्व $f_{XY}(x,y)=\frac{1}{2}$, मुझे मिला:

• $\mathbb{P}(X>Y)=f_{XY}(x,y)\cdot($त्रिकोण का क्षेत्र $(0,0)$,$(2,0)$ तथा $(1,1))=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$

• $\mathbb{P}(X>Y)=\int_{0}^{2}[\int_{0}^{2-x}f_{XY}(x,y)\operatorname{dy}]\operatorname{dx}=1$

अगर हम गलत हैं तो मैं कहां हूं $0<y<x<2$?

किसी भी स्पष्टीकरण के लिए अग्रिम धन्यवाद।

Answer 1

अगर हमारे पास 0 <y <x <2 है तो मैं कहां गलत हूं?

जैसा कि मैंने आपको बताया, किसी भी मामले में एक ड्राइंग मदद कर सकती है

आपका उद्देश्य बैंगनी त्रिकोण पर संयुक्त डेनिम को एकीकृत करना है। इस मामले में सबसे अच्छा एकीकरण क्रम "Y- सरल" है

$$\mathbb{P}[X>Y]=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{2-y}dx=\frac{1}{2}$$

Answer 2

आप की जरूरत है $y$ से कम होना $x$ और से कम है $2-x$, या अलग से डाल दिया $y< \min(x,2-x)$। तो सही इंटीग्रल है \ start {align *} \ mathbb {P} (X> Y) & = \ int_0 ^ 2 \ int_0 ^ {\ min (x, 2-x)} f (x, y) \ _ \ ": dx \\ & = \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ xf (x, y) \: dy \: dx + \ int_1 ^ 2 \ int_0 ^ {2-x} f (x, y) \" dy \: dx \\ & = \ int_0 ^ 1 \ frac {x} {2} \: dx + \ int_1 ^ 2 \ frac {2-x} {2} \: dx \\ & = \ frac {1} / 2} \ अंत {संरेखित *}