निरंतर अंश का अभिसरण [डुप्लिकेट]
मैं वास्तविक विश्लेषण का अध्ययन कर रहा हूं और मुझे यह दिखाना होगा कि निम्नलिखित पुनरावर्ती परिभाषित अनुक्रम है $$x_{1}=\frac{1}{2} ; x_{n+1}=\frac{1}{2+x_{n}}$$ के लिए अभिसरण करता है $L = \sqrt{2} - 1$। मेरा इरादा पहले यह दिखाना था कि अनुक्रम बाद में उपयोग करने की सीमा खोजने के लिए परिवर्तित हो जाता है$ L = \frac{1}{L+2} $, हालांकि मुझे नहीं पता कि यह साबित करने के लिए कि अनुक्रम कैसे परिवर्तित होता है क्योंकि मुझे पहले से ही पता है कि यह मोनोटोन नहीं है इसलिए मैं मोनोटोन कन्वर्जेंस प्रमेय का उपयोग नहीं कर सकता। मैं किसी भी संकेत की सराहना करता हूं, इसलिए मैं इस समस्या को हल करने की कोशिश कर सकता हूं, धन्यवाद।
जवाब
$x_{n+1} =\frac{1}{2+x_{n}} $।
चलो $c = \sqrt{2}-1$ तथा $y_n = x_n-c $।
दिखा रहा है $x_n \to c$ के समान है $y_n \to 0$।
हमारे पास है $y_{n+1}+c =\frac{1}{2+y_{n}+c} $ या, के बाद से $c^2 = 3-2\sqrt{2}$,
$\begin{array}\\ y_{n+1} &=\dfrac{1}{2+y_{n}+c}-c\\ &=\dfrac{1-c(2+y_{n}+c)}{2+y_{n}+c}\\ &=\dfrac{1-2c-c^2-2cy_{n}}{2+y_{n}+c}\\ &=\dfrac{1-2(\sqrt{2}-1)-(3-2\sqrt{2})-2cy_{n}}{2+y_{n}+c}\\ &=\dfrac{-2cy_{n}}{\sqrt{2}+1+y_{n}}\\ \end{array} $
जबसे $0 < 2c < 1$, अगर $|y_n| < 1$ फिर $|y_{n+1}| \lt \dfrac{|y_n|}{\sqrt{2}} $ इसलिए $y_n \to 0$।
जबसे $x_1 = \frac12$, $y_1 =\frac12-(\sqrt{2}-1) =\frac32-\sqrt{2} \approx 1.5-1.414 =0.086 $ इसलिए $|y_1| < \frac12 \lt 1$।
इसलिये $y_n \to 0$।
कड़ाई से, $|\frac32-\sqrt{2}| < 1$ के समान है $-1 \lt \frac32-\sqrt{2} \lt 1 $ जो जैसा है वैसा है $(\sqrt{2}\lt \frac52)$ तथा $(\sqrt{2} \gt \frac12)$ दोनों ही स्क्वैरिंग से चलते हैं।
संभावित सीमा के रूप को देखते हुए सेट करें $u_n=x_n+1$
$u_1=x_1+1=\frac 32$ तथा $u_{n+1}=x_{n+1}+1=\frac{1}{2+u_n-1}+1=\frac{2+u_n}{1+u_n}$
अब ट्रिक का उपयोग करना है $m^2=2$ ताकि $m=\sqrt{2}$ की सीमा है $u_n$। (हम नकारात्मक में रुचि नहीं रखते हैं, तब से$u_n\ge 0$ साबित करना आसान है)।
नोटिस जो $u_{n+1}-m=\frac{m^2+u_n}{1+u_n}-m=-\frac{(m-1)(u_n-m)}{1+u_n}$
विशेष रूप से $\dfrac{u_{n+1}-m}{u_n-m}<0$ इसका मतलब है कि के मूल्यों $u_n$ सीमा के एक तरफ तो दूसरा पक्ष (आपके पास एक सर्पिल अभिसरण है)।
तो अब साबित करें $u_{2n}$ तथा $u_{2n+1}$ मोनोटोन आसन्न अनुक्रम हैं (एक $\searrow$, अन्य $\nearrow$) बाउंडेड (निचला या ऊपरी) $m$ और इस तरह अभिसरण $m$।
संकेत: के संकेत का अध्ययन करें $f(f(u))-u=(m^2-u^2)\times(\text{positive stuff})$ अब भी साथ है $f(u)=\frac{m^2+u}{1+u}$
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