Noether प्रमेय का अनुप्रयोग

Question

मैं पेसकिन और श्रोएडर के क्वांटम फील्ड थ्योरी (पेज नंबर 18, छात्र अर्थव्यवस्था संस्करण) में दिए गए नोथर प्रमेय के आवेदन के उदाहरणों में से एक को समझने का प्रयास करता हूं । पाठ का प्रासंगिक भाग नीचे दिया गया है।

यदि मुझे व्युत्पत्ति और तत्संबंधी चर्चा यहाँ ठीक से समझ में आती है, तो यह मान लिया गया कि लैग्रैन्जिइन्स घनत्व$\mathcal{L}$ Euler-Lagrange समीकरण को संतुष्ट करता है: $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = \partial_{\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\right].$$

मेरा भ्रम: मैं नहीं देखता कि कैसे$\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_{\mu} \phi)^2$Euler-Lagrange समीकरण को संतुष्ट करता है। क्योंकि बायीं ओर, मुझे मिलता है$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0$, और दाहिने हाथ की तरफ, मुझे मिलता है $\partial_{\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\right] = \partial_{\mu} \partial^{\mu} \phi.$ अगर दिया गया $\mathcal{L}$यूलर-लाग्रेंज समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है, तो इस मामले में पेसकिन और श्रोएडर के फॉर्मूलेशन को कैसे लागू किया जा सकता है? मुझे यहां क्या समझ नहीं आ रहा है?

Answer 1

आपने अपने Euler-Lagrange समीकरण को सही तरीके से लिखा है। इसलिए जब आप इसे सरल करते हैं, तो आपको गति का समीकरण मिलता है (जैसा आपने अपने प्रश्न में उल्लेख किया है):$$\partial_\mu\partial^\mu\phi=\partial^2\phi=0.$$ ध्यान दें कि इस बारे में कुछ भी अजीब नहीं है क्योंकि अगर आपने संभावित ऊर्जा शब्द के साथ Lagrangian का उपयोग किया है, अर्थात $$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2,$$ आपको प्राप्त होने वाली गति का समीकरण है $$(\partial_\mu\partial^\mu+m^2)\phi=0.$$हम यहां जो कुछ कर रहे हैं वह सब प्लगिंग है $m=0$, जो पहले समीकरण को वापस देता है।

अगर मैं सही तरीके से समझूं, तो आपको Euler-Lagrange समीकरण "संतुष्ट" होने में समस्या हो रही है। मैं आपके कथन को सही करके इसे स्पष्ट करना चाहूंगा: यह कहना गलत है कि "लाग्रनिज"$\mathcal{L}$Euler-Lagrangian समीकरण को संतुष्ट करता है; यह "क्षेत्र" है$\phi$ यह यूलर-लाग्रेंज समीकरण को संतुष्ट करता है।

यूलर-लैगरेंज समीकरण है $$\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0,$$जो आपको लग्रन के उपयोग के आधार पर एलएचएस पर अलग-अलग भाव देता है (हम पहले से ऊपर दो उदाहरण देख चुके हैं)। एल्युर-लैगरेंज समीकरण (या गति का समीकरण) प्राप्त करने और हल करने के लिए आप एलएचएस पर अभिव्यक्ति को शून्य के बराबर करते हैं$\phi$।

मुझे उम्मीद है कि इस मुद्दे को स्पष्ट किया जाएगा।

Answer 2

यूलर-लाग्रेंज समीकरण स्वचालित रूप से संतुष्ट नहीं है $\mathcal{L}$। यह दूसरा तरीका है। दिया हुआ$\mathcal{L}$, आप क्षेत्र द्वारा संतुष्ट गति के शास्त्रीय समीकरण पा सकते हैं $\phi$। यह आपको न्यूटनियन यांत्रिकी में बल के लिए एक सूत्र देने जैसा है। भले ही आपको पता हो$F$, आपको अभी भी न्यूटन के दूसरे नियम को जानना होगा $F=ma$गति को खोजने के लिए। यहाँ भी: दिया गया$\mathcal{L}$, आपको गति खोजने के लिए अभी भी "कानून" (ईएल समीकरण) की आवश्यकता है।

Answer 3

यह किस लायक है, इसके लिए यह बहुत महत्वपूर्ण है कि कौन से चरण में न्यूलर के (पहले) प्रमेय के एक अनुप्रयोग में यूलर-लाग्रेंज (ईएल) समीकरणों का उपयोग किया जाता है । नोथर के पहले प्रमेय के 2 पक्ष हैं:

• इनपुट: एक वैश्विक ऑफ-शेल$^1$ (quasi) समरूपता । यहां ईओएम का उपयोग नहीं करना चाहिए । ( ऑन-शेल समरूपता एक खाली धारणा है, क्योंकि जब भी हम कार्रवाई को बदलते हैं$\delta S$ असीम रूप से और EOM लागू करें, फिर परिभाषा के अनुसार $\delta S\approx 0$ मोडुलो सीमा शर्तों को गायब कर देता है।)

• आउटपुट: एक ऑन-शेल निरंतरता समीकरण। यहां व्यक्ति को ईओएम का उपयोग करना चाहिए। (यदि यह ऑफ-शेल को होल्ड करने के लिए भी होता है, तो यह इसलिए है क्योंकि वैश्विक समरूपता एक बड़ी स्थानीय / सममिति का हिस्सा है। नॉर्थर्स की दूसरी प्रमेय और इस Phys.SE पोस्ट को देखें।)

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$^1$शब्द ऑन-खोल और बंद खोल करने के लिए है कि क्या यूलर-Lagrange (ईएल) समीकरण (= EOM) संतुष्ट या नहीं कर रहे हैं देखें।