ऑपरेटरों की समय पर निर्भरता

Question

ग्रिफ़िथ के क्वांटम यांत्रिकी के परिचय में, स्थिति की अपेक्षा के मूल्य के समय विकास का अध्ययन करते हुए, लेखक ने लिखा: $$\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}x|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

इसलिए $$\frac{d\langle x\rangle}{dt}=\int x\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

क्या उसने बस यही मान लिया था $x$कोई समय निर्भरता नहीं है और क्यों?

Answer 1

क्या उसने सिर्फ यह मान लिया था कि x के पास समय निर्भरता नहीं है? और क्यों?

हाँ। फार्म के एक अभिन्न के परिणाम$$\int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx \tag{1}$$ समय का एक कार्य है $t$; वह है, एक वास्तविक चर का एक कार्य (या, शिथिल रूप से बोलना, अभिन्न एक मात्रा का मूल्यांकन करेगा जो निर्भर नहीं करेगा$x$, केवल इस पर $t$) है। इस प्रकार, विभेद करने पर$(1)$, एक मिलेगा: $$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx = \int \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) \, dx$$जैसा कि लिबनिज इंटीग्रल प्रमेय द्वारा निर्देशित किया गया है (ध्यान दें कि मैंने कुछ कमजोर धारणाओं को व्यवहार पर ग्रहण किया है$f$, लेकिन इसकी अविश्वसनीय रुचि यहां नहीं है)। इस का एक तुच्छ अनुप्रयोग$$\langle x \rangle := \int_{\mathbb{R}} x |{\Psi(x,t)}|^2 \, dx$$ वांछनीय परिणाम प्राप्त करता है।

Answer 2

क्वांटम यांत्रिकी के दो रूप हैं:

• श्रोडिंगर का प्रतिनिधित्व । समय विकास राज्य वेक्टर, एन्कोडिंग में कूटबद्ध होता है -$\Psi(x,t)$, और वेधशालाएं (ऑपरेटर) समय में स्थिर हैं
• हाइजेनबर्ग प्रतिनिधित्व । अब ऑपरेटर समय के साथ विकसित होते हैं, और राज्य वैक्टर समय-स्वतंत्र होते हैं, उन्हें ठीक रखा जाता है।

बातचीत के सिद्धांतों के मामले में एक हाइब्रिड इंटरैक्शन प्रतिनिधित्व है । यहां संचालक नॉन-इंटरैक्टिंग हैमिल्टन के साथ विकसित होते हैं$H_0$, और राज्य बातचीत के माध्यम से विकसित होते हैं $H_I$।

तो आपके मामले में लेखक श्रोडिंगर प्रतिनिधित्व का उपयोग करता है।