पथ अभिन्न पहचान

Question

मैं ईपीएफएल व्याख्यान में पृष्ठभूमि क्षेत्र के तरीकों को एक ईएफ़टी के रूप में जीआर पर पढ़ रहा हूं । लेखक 23 पृष्ठ पर इस पहचान का उपयोग करते हैं, समीकरण (174):$$ \mathcal{N}^{-1}\int\mathcal{D}\phi\,\mathcal{D}\phi^*\exp\{-i\int\mathrm{d}^4x\,\phi(\square+v(x))\phi^*\} = \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))}\tag{174} $$जो सिर्फ एक मानक गाऊसी (पथ) अभिन्न है। लेकिन वे इसका इस्तेमाल करते हैं:$$ \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))} = \mathcal{N}^{-1}\exp\{-\int\mathrm{d}^4x\,\langle x|\text{Tr}\ln(\square+v(x))|x\rangle\} \tag{174}$$जिसे मैं पूरी तरह से नहीं समझता। क्या यह उपयोग करता है$\log \det \mathbf{A} = \text{Tr} \log \mathbf{A}$? यदि हां, तो इसमें एक अभिन्न क्यों है$\exp$ - क्या इसे रद्द करने के लिए एक समान डेल्टा फ़ंक्शन नहीं होना चाहिए?

Answer 1

1. हां ओपी सही है: व्याख्यान गाऊसी पथ एकीकरण और पहचान का उपयोग कर रहे हैं$$ \det A~=~e^{{\rm tr}\ln A}\quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{\det A}~=~e^{-{\rm tr}\ln A} \tag{i}$$eq में (१ (४)।

2. अगले व्याख्यान पूर्णता संबंध का उपयोग कर रहे हैं $$\int\mathrm{d}^4x\,|x\rangle \langle x|~=~{\bf 1} \tag{ii}$$ तथा $$ {\rm tr}[A|x\rangle \langle x|]~=~ \langle x|A|x\rangle\tag{iii} $$eq में (१ (४)।

3. अंतिम eq के RHS पर जीवित ट्रेस। (१ (४) उदाहरण के लिए एक स्वाद ट्रेस हो सकता है, और इंगित करता है कि eq में ट्रेस। (iii) केवल एक आंशिक ट्रेस है ।

Answer 2

हां, आप सही हैं-निर्धारक-लघुगणक पहचान का उपयोग ऊपर किया गया है। घातांक के रूप में, निम्नलिखित ( ग्रीनर, रेनहार्ड्ट, अध्याय 11, पृष्ठ संख्या 353 द्वारा पुस्तक फील्ड परिमाणीकरण से) का उपयोग किया गया है -
$ \int {d^D v \exp \big\{ {- \frac{1}{2} v^T A v} \big\}} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}} \exp \big\{ {- \frac {1}{2} Tr ln A} \big\} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}}\big(det A \big)^{-\frac{1}{2}} $

उपरोक्त का प्रमाण भी इसमें दिया गया है। $2\pi$संभवतः सबसे पहले से ही निरंतर में समाहित हैं। आपके प्रश्न में दी गई अभिव्यक्ति (शायद संभवतः) फेनमैन (पथ अभिन्न) औपचारिकता में एक अभिन्न अंग है और यही कारण है कि$-i$ वहाँ है - Feynman औपचारिकता की क्रूरता यह है कि कार्रवाई के रूप में लिखा जा सकता है $ \exp \big\{\frac{-i S}{\hbar}\big\} $। चियर्स!