Picard-surjectivity और Morita-तुल्यता

Question

हम कहते हैं कि एक बीजगणित $A$ एक मैदान पर $k$ विहित मानचित्र है तो पिकार्ड-विशेषण है $$ \mathrm{Aut}(A) \rightarrow \mathrm{Pic}(A)$$विशेषण है। यहाँ$\mathrm{Pic}(A)$ संप्रदाय के isomorphism वर्गों के समूह को दर्शाता है $A$-$A$-Bimodules और मानचित्र एक ऑटोमोर्फिज़्म भेजता है $\alpha$ तक $A$-$A$-बिमोडुले $A_\alpha$, जहां बाईं क्रिया सामान्य है और दाईं क्रिया क्रिया है $\alpha$।

प्रश्न: किसी भी परिमित आयामी के लिए$k$-बैलब्रिज $A$क्या वहाँ एक मोरिता-समान मौजूद है जो पिकार्ड-विशेषण है?

यदि नहीं, तो मुझे उन परिस्थितियों में दिलचस्पी है जिनके तहत यह सच है। मुझे मामले में मुख्य रूप से दिलचस्पी है$k=\mathbb{R}$ या $\mathbb{C}$, और सभी उदाहरणों के लिए जो मैं अब तक के साथ आया था, यह सही प्रतीत होता है, जहां तक ​​मैं बता सकता हूं।

Answer 1

हां, का मूल बीजगणित $A$ Picard-surjective होगा।

मूल बीजगणित एंडोमोर्फिज्म बीजगणित है $\operatorname{End}_A(\bigoplus_{i=1}^{n}P_i)$इंडोकॉमोप्रोजेक्टिव प्रोजेक्टिव (दाएं) मॉड्यूल की प्रत्यक्ष राशि, प्रत्येक आइसोमोर्फिज्म वर्ग से एक। यह मोरिता के बराबर है$A$।

मान लीजिए $A$बुनियादी है। फिर बाएं या दाएं मॉड्यूल के रूप में,$A$प्रत्येक इस्मोर्फिज्म वर्ग से एक, इंडोकॉमोप्रोजेक्टिव मॉड्यूल का सीधा योग है। मान लीजिए$M$एक असंगत बिमोडुले है। जबसे$S\otimes_AM$ हर साधारण मॉड्यूल के लिए नॉनज़रो है $S$, एक प्रत्यक्ष राशि के अपघटन $M$बाएं मॉड्यूल के रूप में प्रत्येक इंडोकॉमोप्रोजेक्टिव प्रोजेक्ट की कम से कम एक प्रति होनी चाहिए। लश्कर$X=\bigoplus_{i=1}^nS_i$ सरल (दाएं) का सीधा योग हो $A$-मॉड्यूल्स, प्रत्येक आइसोमोर्फिज्म वर्ग से एक। जबसे$X\otimes_AM\cong X\cong X\otimes_AA$, एक बाएं मॉड्यूल के रूप में $M$एक प्रत्यक्ष योग अपघटन में प्रत्येक इंडोकॉमोप्रोजेक्टिव की बिल्कुल एक प्रति होनी चाहिए । इसलिए$M\cong A$बाएं मॉड्यूल के रूप में। सही$A$-मॉडल संरचना $M$ फिर एक इंजेक्शन बीजगणित समरूपता द्वारा दिया जाता है $A^{op}\to\operatorname{End}_A(_AA)\cong A^{op}$, जो परिमित आयामीता द्वारा एक समरूपता है: अर्थात, सही कार्य एक स्वप्रतिरक्षा द्वारा प्रेरित है $A$।