प्रमाणन $e^z$ होलोमोर्फिक है
मैंने कहीं पढ़ा है कि $e^z$होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है, लेकिन मैं इसे साबित करने का एक आसान तरीका नहीं सोच सकता। मैंने काऊची रीमैन समीकरणों का उपयोग करने के बारे में सोचा, लेकिन यह शायद ओवरकिल है। क्या यह दिखाने के लिए एक सरल दृष्टिकोण है कि यह फ़ंक्शन होलोमोर्फिक है?
जवाब
यह आपकी परिभाषा पर निर्भर करता है $e^z$। सबसे मानक परिभाषा इसे शक्ति श्रृंखला के माध्यम से परिभाषित करना है$$ e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}, $$जो आसानी से हर जगह अभिसरण दिखाई देता है। तब आप बस सामान्य प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं कि एक शक्ति श्रृंखला अपने अभिसरण के त्रिज्या के अंदर हर जगह एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन को परिभाषित करती है।
$e^{z}$ की तरह परिभाषित किया गया है :
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}.$$
इस श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या है $\infty$। इस प्रकार यह एक विश्लेषणात्मक कार्य है।
अन्य उत्तर मान लेते हैं कि आप बिजली श्रृंखला के संदर्भ में घातांक को परिभाषित कर रहे हैं। यदि आप परिभाषित करते हैं$e^z = e^x\cos(y) + ie^x\sin(y)$, आप निम्नलिखित देखें:
- क्योंकि दोनों समन्वय कार्य असीम रूप से भिन्न हैं, $e^z$ दो चर के एक समारोह के रूप में असीम रूप से भिन्न है
- $\frac{\partial}{\partial x} e^z = e^z$
- $\frac{\partial}{\partial y} e^z = ie^z$
अब यह कॉची-रीमैन समीकरणों को लागू करने के समान सरल है।
यह पता लगाने के लिए कि क्या यह "ओवरकिल" है - सबसे पहले, अगर यह काम करता है, तो यह काम करता है । ओवरकिल के बारे में चिंता करना जब आपने अभी तक समस्या को हल नहीं किया है, तो ठीक है,https://stackify.com/premature-optimization-evil/।
दूसरा, जैसे ही कोर्स आगे बढ़ता है, आपको उन स्थितियों की एक सूची जमा करनी चाहिए जो होलोमोर्फ़ के बराबर हैं ("खुले सेट में हर बिंदु पर जटिल-भिन्न", "डोमेन में हर बिंदु पर कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करता है", इसके बराबर है एक खुले सेट में हर बिंदु पर पावर सीरीज़ ", ...)।
इसके बजाय बल्ले बंद "सर्वश्रेष्ठ" एक चुनना की कोशिश की, यह शायद सूची के माध्यम से जाने के लिए और देखते हैं कि कैसे करने के लिए और अधिक शिक्षाप्रद होगा प्रत्येक शर्त पर लागू होता है$e^z$। वह (ए) आपको अपने पूरे टूलसेट के साथ अभ्यास देता है, और (बी) आपको भविष्य में समस्या के लिए बेहतर मिलान उपकरण स्थापित करता है।