प्रमेय क्रामर-वोल्ड।

Question

प्रमेय (क्रामर-वोल्ड डिवाइस): एक यादृच्छिक का वितरण $n$-वेक्टर $X$ पूरी तरह से रैखिक संयोजनों के सभी एक आयामी वितरण के सेट से निर्धारित होता है $t^TX$, कहां है $t$ सभी तय सीमा से अधिक $n$-वेक्टर $ $ $ $ सबूत। $ Y: = t ^ TX $ की विशेषता कार्य है: $$ \ phi_Y (s): = E [e ^ {isy}] = E [e ^ {ist ^ TX}] $ $ यदि हम प्रत्येक $ का वितरण जानते हैं Y $ , हम इसके CF $ \ phi_Y (s) $ जानते हैं । विशेष रूप से, $ s = 1 $ लेने पर , हम $ E [e ^ {ist ^ TX}] $ जानते हैं । लेकिन यह $ X = (X_1, \ ldots, X_n) ^ $ $ t = (t_1, \ ldots, t_n) ^ $ $ का मूल्यांकन है । लेकिन यह $ X. $ का वितरण निर्धारित करता है

मेरे सवाल:

1. यदि $ s = 1 $ है, तो क्या सबूत सामान्यता खो देता है? क्यों नहीं?
2. प्रमाण की मेरी व्याख्या यह है कि यदि वेक्टर और वेक्टर के रैखिक संयोजन में एक ही विशेषता कार्य है तो उनका वितरण समान है। क्या यह व्याख्या सही है? 3) प्रमेय में 'पूर्ण रूप से निर्धारित' का क्या अर्थ है?

Answer 1

• मुझे समझ में नहीं आ रहा है कि आप अपने पहले प्रश्न में "सामान्यता खो दें" से क्या मतलब है। प्रमाण में एकमात्र "सामान्यता" जो मुझे किसी भी महत्व की लगती है, वह यह है कि किसी के लिए भी काम करना चाहिए$\ n$-वेक्टर और किसी के लिए $\ n\ $, जो करता है। लाना$\ s=1\ $ सबूत में केवल एक कदम है, एक ऐसा कदम जिसे आप वैध रूप से ले सकते हैं, भले ही इसका मूल्य क्या हो $\ n\ $ तथा $\ X\ $ इसलिए, यह उन पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाता है।

• एक वेक्टर अपनी प्रविष्टियों के रैखिक संयोजन के समान नहीं है (जब तक कि वेक्टर, $\ X\ $ है $1$-आयामी और रैखिक संयोजन है $\ 1\cdot X\ $), जो एक स्केलर होना चाहिए। इसलिए न तो एक यादृच्छिक वेक्टर का वितरण और न ही विशेषता कार्य उस यादृच्छिक वेक्टर की प्रविष्टियों के रैखिक संयोजन के समान हो सकता है। एक यादृच्छिक का वितरण$\ n$-वेक्टर के साथ-साथ इसकी विशेषता फ़ंक्शन के कार्य होंगे $\ n\ $वैरिएबल, जबकि रैंडम वेक्टर की प्रविष्टियों के किसी विशेष रैखिक संयोजन के वितरण और विशेषता फ़ंक्शन दोनों एक ही एकल चर के कार्य होंगे।

  Cramer-Wold डिवाइस में मुख्य बिंदु यह है कि आपको रैंडम वेक्टर की प्रविष्टियों के कुछ विशेष रैखिक संयोजन के बारे में नहीं, बल्कि हर ऐसे रैखिक संयोजन के एक-आयामी वितरण को जानना आवश्यक है , और यह आपको यादृच्छिक को कम करने में सक्षम बनाता है वेक्टर का वितरण, एक ही चर के कार्यों के उस अनंत परिवार से, कई चर का एक फ़ंक्शन।