प्रिंसिपल रिंग के बारे में सवाल
मैं गणित का छात्र हूं। मैं बस कुछ बुनियादी अवधारणा के बारे में भ्रमित कर रहा हूं, इसलिए मैं यहां इसके लिए पूछता हूं ...
सबसे पहले, प्रिंसिपल आदर्श का अर्थ है एक तत्व द्वारा उत्पन्न आदर्श, लेकिन मुझे नहीं पता कि 'उत्पन्न' का अर्थ क्या है .. कैसे 'उत्पन्न' को परिभाषित किया गया है?
मैंने दुमट की पुस्तक पर कुछ उदाहरण देखे, और वे कहते हैं कि 'तुच्छ आदर्श 0 और आदर्श R दोनों प्रधान हैं: 0 = (0) और R = (1)'। मेरा दूसरा सवाल है, अगर रिंग आर प्रिंसिपल है, तो उसके आदर्श हमेशा प्रिंसिपल होते हैं?
पढ़ने के लिए धन्यवाद, और मुझे आशा है कि आप मेरे कुछ सवालों के जवाब देंगे!
जवाब
सामान्य तौर पर, यदि $R$ एक अंगूठी है और $S\subseteq R$ एक उपसमुच्चय तो आदर्श द्वारा उत्पन्न है $S$ को उन सभी आदर्शों के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया गया है जिनमें समाहित हैं $S$सबसेट के रूप में। दूसरे शब्दों में यह सबसे छोटा आदर्श है (शामिल करके) जिसमें शामिल है$S$। संकेतन है$(S)$।
विशेष रूप से, यदि $S=\{a\}$ एक तत्व के साथ एक सेट है $(a)$ का सबसे छोटा आदर्श है $R$ जिसमें तत्व शामिल है $a$। अब अगर$R$ इकाई के साथ एक अंगूठी है तो यह देखना आसान है कि सेट:
$I=\{\sum_{i=1}^n r_ias_i: n\in\mathbb{N}\cup\{0\},\ r_i,\ s_i\in R\}$
एक आदर्श है जिसमें समाहित है $a$। इसलिये$(a)\subseteq I$। दूसरी ओर,$(a)$ स्वयं एक आदर्श है जिसमें समाहित है $a$, इस प्रकार एक आदर्श के गुणों के द्वारा इसमें सभी तत्व शामिल होने चाहिए $I$। इसलिए$I\subseteq (a)$यह भी सच है। तो इसका तात्पर्य है$I=(a)$, हमने वर्णन करने के लिए एक अपेक्षाकृत आसान तरीका पाया $(a)$।
अगर हमें भी पता होता $R$ कम्यूटेटिव है तो यह और भी आसान होगा, तो हमारे पास बस होगा $(a)=\{ra: r\in R\}$। (इसे जाँचे)
ठीक है, अब परिभाषाओं के लिए। एक आदर्श$I$ कुछ होने पर प्रिंसिपल कहलाता है $a\in I$ ऐसा है कि $I=(a)$। एक अंगूठी$R$ एक प्रधान वलय कहा जाता है यदि इसके सभी आदर्श प्रधान हैं।