रैंप पर दो सिलेंडर
मान लीजिए कि मेरे पास दो सिलेंडर हैं: एक प्रकाश एक और एक भारी। अब, मैंने सिलिंडर को बिना खिसकाए रैंप पर नीचे आने दिया। मेरा सवाल यह है कि सबसे पहले रैंप में कौन से पायदान पर पहुंचेंगे और क्यों?
जवाब
आइए एक झुकाव वाले विमान पर सिलेंडर के लिए शुद्ध बल पर एक नज़र डालें:
$$ \Sigma F_{\parallel} = mg\sin{\theta} - f\tag{1}$$ कहाँ पे $f$ घर्षण बल है।
अब COM के बारे में टोक़ (जो बिंदु है जिसके बारे में रोटेशन है) है: $$\Sigma \tau = Rf \tag{2}$$
कहाँ पे $R$सिलेंडर की त्रिज्या है। न्यूटन के दूसरे नियम से, Eq (1) और (2) बन जाते हैं:
$$ ma = mg\sin{\theta} - f\tag{3}$$ $$I\alpha = Rf \tag{4}$$
चूंकि कोई फिसलन नहीं है $a = R \alpha$। हमें मिला, $$I \dfrac{a}{R} = Rf \tag{5}$$
अब यहाँ महत्वपूर्ण हिस्सा है। मान लें कि घनत्व दोनों सिलेंडर में UNIFORM है। वह एक ही द्रव्यमान का अर्थ नहीं करता है, बल्कि वह है$\rho$सिलेंडर पर हर बिंदु पर समान है। उस स्थिति में, जड़ता (COM के माध्यम से जाने वाली धुरी और सिलेंडर के प्रत्येक चेहरे के बारे में) है$$I=\dfrac{1}{2}mR^2$$ कहाँ पे $R$ त्रिज्या है और $m$ द्रव्यमान है।
आइए विकल्प देते हैं कि (5) और प्राप्त करें, $$\dfrac{1}{2}mR^2 \dfrac{a}{R} = Rf \quad \implies \quad \dfrac{1}{2}ma = f \tag{6}$$
अब हम (6) और (3) को मिलाते हैं
$$ ma = mg\sin{\theta} - \dfrac{1}{2}ma.\tag{7}$$
निरीक्षण करें कि जनता सभी रद्द कर देती है, और हम साथ रह जाते हैं $$a = \dfrac{2}{3} g\sin\theta.\tag{8}$$
निरीक्षण करें कि (8) न तो द्रव्यमान पर निर्भर है और न ही त्रिज्या पर। इसलिए, दोनों सिलेंडर एक ही त्वरण का अनुभव करेंगे । चूंकि प्रत्येक सिलेंडर के लिए त्वरण समान है (और वे दोनों आराम से एक ही स्थान से शुरू होते हैं), दोनों एक ही समय में पहुंचेंगे, द्रव्यमान या त्रिज्या से स्वतंत्र (फिर, एक समान घनत्व मानते हुए)।
एक सहज प्रमाण है कि केवल घनत्व में भिन्न होने वाले दो सिलेंडर एक ही गति के साथ रोल करेंगे: एक ही द्रव्यमान वाले दो सिलेंडर को सुपरइम्पोज़ करें। उसी दर पर सिलेंडर रोल करेंगे। लेकिन साथ में वे दो बार द्रव्यमान का एक सिलेंडर बनाते हैं, वह भी उसी दर से चल रहा है। एक व्यावहारिक बात के रूप में, "सुपरमिशन" का अर्थ देना थोड़ा जटिल हो सकता है, लेकिन यह एक सहज दृष्टिकोण से प्रमाण को प्रभावित नहीं करता है।