रीमैन योग की परिभाषा
साबित करो: $$ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty} h\bigg(f(a)+f(a+h)+\ldots+f(a+(n-1)h)\bigg);\, h =\frac{b-a}{n} $$
मुझे पता है कि दायाँ हिस्सा रीमैन योग से आता है और यह वक्र के नीचे शुद्ध हस्ताक्षरित क्षेत्र देता है, लेकिन बाएँ हाथ की ओर वक्र के नीचे हस्ताक्षरित क्षेत्र का प्रतिनिधित्व कैसे करता है, और वे दोनों एक ही मूल्य का मूल्यांकन कैसे करते हैं? मैं दोनों को रिलेट नहीं कर पा रहा हूं।
जवाब
हम यहां रिमैन इंटीग्रल की परिभाषा का उपयोग कर रहे हैं।
चलो $[a,b]$ एक बंद अंतराल हो ऐसा $f$रीमैन-इंटेग्रैबल है। एक विभाजन को परिभाषित करें:
$$a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b$$
ताकि:
$$\forall i \in \{1,2,3,\ldots,n \}: h = x_{i}-x_{i-1} = \frac{b-a}{n}$$
अब, प्रत्येक अंतराल के लिए $[x_{i-1},x_i]$, हम एक बिंदु चुनें $\xi_i$ और योग को परिभाषित करें:
$$S = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)h$$
यदि हम उपर्युक्त राशि की सीमा लेते हैं जैसे कि विभाजन का मानदंड जाता है $0$, हम के Riemann इंटीग्रल मिलता है $f$ अंतराल पर $[a,b]$। इस मामले में, विभाजन का मानदंड बस है$h$ तो हम बस करते हैं $h \to 0$।
अब, बहुत आसानी से, मैं परिभाषित करने जा रहा हूँ $\xi_i = a+(i-1)h$। यह है कि नोटिस, यह सिर्फ अंतराल के बाएँ समापन बिंदु होने जा रहा है$[x_{i-1},x_i]$। तो, हमारे पास योग है:
$$S = \sum_{i=1}^{n} f(a+(i-1)h)h = h \cdot \sum_{i=1}^{n} f(a+(i-1)h)$$
फिर, हम देख सकते हैं कि:
$$\int_{a}^{b} f(x) \ dx = \lim_{h \to 0} \left[ h \left(\sum_{i=1}^{n} f(a+(i-1)h) \right) \right]$$
जैसा चाहा गया। यह पूछना अजीब है कि किसी भी क्षेत्र को किसी भी वक्र के तहत क्षेत्र क्यों देता है क्योंकि मैंने जो ऊपर किया है वह किसी भी ग्राफ के तहत क्षेत्र का कोई उल्लेख नहीं करता है। यदि आप रेखांकन के तहत क्षेत्र को खोजने की ज्यामितीय समस्या के लिए लागू की गई परिभाषा को देखना चाहते हैं, तो आपको यह कैसे काम करता है इसके लिए कुछ और अंतर्ज्ञान प्राप्त करने के लिए कुछ चित्रों को निश्चित रूप से आकर्षित करना चाहिए।
आपका प्रश्न है कि निम्नलिखित सत्य क्यों है $$ \left( \int f(x)dx \right)\Bigg|_a^b = \int_a^b f(x)dx $$ यही कारण है कि एक अंतरविरोधी (अनिश्चितकालीन अभिन्न) के मूल्यों के बीच का अंतर $\int f(x)dx$, जो एक समारोह है$x$, के रूप में चिह्नित निश्चित अभिन्न, के बराबर है $\int_a^b f(x)dx$? यह कथन पथरी का मौलिक सिद्धांत है
सरल रूप से समझाया गया: रिमैन योग की सीमा (यदि यह मौजूद है) को निश्चित अभिन्न कहा जाता है । दो निश्चित अभिन्न के बीच का अंतर (या योग) फिर से एक निश्चित अभिन्न है (जो सहज होना चाहिए)। अब इसकी ऊपरी सीमा के कार्य के रूप में एक निश्चित अभिन्न एकीकृत कार्य का एक विरोधी है $$ \Phi_c(x) = \int_c^x f(t)dt$$ और एक एंटीसाइनेट (दो निश्चित इंटीग्रल) के दो मूल्यों के बीच का अंतर, एलएचएस, फिर एक निश्चित इंटीग्रल, आरएचएस है।
अतिरिक्त :
प्रत्येक निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन (एक चर का) $f$एक व्यक्तिविरोधी है, और वह यह है ( निश्चित अभिन्न को पहले से परिभाषित किया गया है) निश्चित निरंतर सीमा से कुछ अभिन्न$a$ एक ऊपरी ऊपरी सीमा तक $x$, इसे निरूपित किया जाए $$ \Phi_c(x) = \int_c^x f(t)dt$$ यह साबित होता है कि यह एक एंटीसाइवरेटिव है जिसका अर्थ औसत प्रमेय और निश्चित अभिन्न की संपत्ति से है $$ \int_a^c f(t)dt +\int_c^b f(t)dt = \int_a^b f(t)dt $$ का व्युत्पन्न $\Phi_c(x)$ wrt $x$ तब है $$ \lim_{h\rightarrow0}\frac{\int_c^{x+h} f(t)dt - \int_c^x f(t)dt}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\int_x^{x+h} f(t)dt}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{h\ f(x+\tilde h)}{h}= f(x) $$ कहाँ पे $0 \leq \tilde h \leq h$। तो अंतरविरोधियों के बीच का अंतर