रिंडलर में त्वरण निर्देशांक
क्या आप निम्नलिखित तर्क में बुनियादी दोष को इंगित कर सकते हैं?
मैं मिंकोव्स्की का उपयोग करता हूं $x^\mu$ और रिंडलर निर्देशांक $\xi^\mu$
$$ x^\mu = (t,x) $$
$$ \xi^\mu = (\eta, \rho) $$
$$ x^\mu(\xi) = \rho \, (\sinh\eta, \cosh\eta) $$
$$ (x^1)^2 - (x^0)^2) = \rho^2; \qquad \frac{x^0}{x^1} = \tanh\eta $$
$$ ds^2 = -dt^2 + dx^2 = -\rho^2 \, d\eta^2 + d\rho^2 $$
और विश्व-रेखा, 2-वेग और 2-त्वरण
$$ x^\mu(\tau) = a^{-1} \; (\sinh a\tau, \cosh a\tau) $$
$$ \dot{x}^\mu(\tau) = (\cosh a\tau, \sinh a\tau) $$
$$ \ddot{x}^\mu(\tau) = a \,(\sinh a\tau, \cosh a\tau) $$
साथ में
$$ \ddot{x}_\mu \ddot{x}^\mu = a^2 $$
ठीक।
इस विश्व-रेखा को रिंडलर में बदलने से परिणामों में समन्वय होता है
$$ \xi^\mu(\tau) = (a\tau, a^{-1}) $$
$$ \dot{\xi}^\mu(\tau) = (a, 0) $$
इसलिए - जैसा कि अपेक्षित है - यह विश्व-पंक्ति at बैठता है ” $ \xi^1(\tau) = \text{const.} $
तथापि
$$ \ddot{\xi}^\mu(\tau) = 0 \quad \implies \quad \ddot{\xi}_\mu \ddot{\xi}^\mu = 0 $$
त्वरण कहां गायब हो गया?
जवाब
ठीक है, मैं अंधा हो गया होगा।
समतल जगह में लेकिन घुमावदार निर्देशांक का उपयोग करके त्वरण की गणना करना है
$$ a^\mu = \ddot{\xi}^\mu + \Gamma^\mu_{\kappa\lambda} \dot{\xi}^\kappa \dot{\xi}^\lambda $$
जो अच्छी तरह से काम करता है।
संकेत के लिए धन्यवाद!