रिंग एक्सटेंशन के लिए अधिसूचना

Question

अगर $K$ किसी फ़ील्ड का फ़ील्ड एक्सटेंशन है $F$ (अर्थात्, $F\subseteq K$), हम लिखते हैं $K/F$। लेकिन अगर$R$रिंग का एक रिंग एक्सटेंशन है$S$ (अर्थात्, $S\subseteq R$), समकक्ष संकेतन क्या है? क्या हम लिखते हैं?$R/S$ जैसे हम खेतों के लिए हैं या कुछ ऐसा है $R\supseteq S$ अधिक उपयुक्त?

Answer 1

मैं "रिंग एक्सटेंशन" की किसी भी आम तौर पर स्वीकृत परिभाषा से अवगत नहीं हूं जिसमें आगे कोई क्वालीफायर नहीं है। जब आप खेतों के मामले से परे जाते हैं तो यह बहुत कम स्पष्ट होता है कि "एक इंजेक्शन$S \to R$"अंगूठी विस्तार की सही धारणा है।" एक तरफ आप एक मनमाना मानचित्र पर चर्चा करना चाह सकते हैं $f : S \to R$जरूरी नहीं कि इंजेक्टिव हो; समकक्ष, आप चाहते हो सकता है$R$ मनमाना होना $S$-algebra। यह सबसे सामान्य बात है जिसे आप पूछ सकते हैं और इसमें अच्छे श्रेणीबद्ध गुण हैं। दूसरी ओर आप नक्शे के विभिन्न गुणों की आवश्यकता कर सकते हैं$f$: उदाहरण के लिए, कि यह है

• अभिन्न (जो बीजीय विस्तार को सामान्य करता है)
• फ्लैट (स्वचालित यदि$S$ एक क्षेत्र है)
• ईमानदारी से फ्लैट (विभिन्न अच्छे गुण)
• etale (बहुत अच्छे गुण लेकिन बहुत प्रतिबंधक)

और बहुत सारी और अन्य संभावनाएं। मुझे इनमें से किसी के लिए भी नोटेशन की जानकारी नहीं है। लोग बस कहते हैं “चलो$f : S \to R$ हो (जो भी हो)। ”(इसके अलावा, यह लिखना मानक होगा $f : R \to S$ यहाँ।)