रिसोल्वेंट मानदंड के लिए एक सीमा पर
लश्कर $H$एक जटिल, अनंत आयामी, वियोज्य हिल्बर्ट स्थान हो। किसी भी दो नॉनजरो ऑपरेटरों को ठीक करें$A,B \in B(H)$ ऐसा है कि $B$ एक स्केलर नहीं है $A$। यह अच्छी तरह से पता हैं कि:
$$ \| R_A (z) \| \rightarrow 0 \quad \text{when}\, |z| \rightarrow +\infty $$
यह आसानी से इस प्रकार है:
$$\|R_A(z) \| \leq \frac{1}{|z| - \| A \|} \quad \forall z \in \mathbb{C} : |z| > \| A \|$$
अब संचालक पर विचार करें $A+ cB$ कहां है $c$ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है, और कुछ जटिल संख्या को ठीक करना है $z$। क्या हम ऐसा कह सकते हैं, सभी के लिए$\epsilon >0$, वहां मौजूद $M>0$ ऐसा है कि:
$$ c > M \, \, \text{such that} \, \, z \not \in \sigma(A+cB) \Rightarrow \|R_{A+cB} (z)\| < \epsilon$$
सहज रूप से , के लिए$c \rightarrow +\infty$, हम होंगे:
$$ R_{A+cB}(z)=(z-A-cB)^{-1}= c^{-1}(z/c - A/c -B)^{-1} "\rightarrow" 0$$
चूंकि $|z/c| \rightarrow 0$, $\|A\| / c \rightarrow 0$, $1/c \rightarrow 0$ तथा $B$निश्चित है। हालाँकि, मैं इस प्रकार के परिणाम के लिए किसी संदर्भ से अवगत नहीं हूँ। क्या किसी के पास इसका संदर्भ या प्रमाण है?
जवाब
जैसा कि माइकल पहले ही देख चुके हैं: यदि काउंटरटेम्पल का निर्माण करना सरल है $B$ एक nontrivial कर्नेल है $N(B)$ तथा $A$ एमएपीएस $N(B)$ अपने आप में, तब से $N(B)$ इसका आकार $c$ कोई भूमिका नहीं।
लेकिन भले ही $B$ एक समरूपता है, यहां तक कि पहचान भी $B=I$, अनुमान गलत है: $z-A-cB=(z-c)-A$। व्युत्क्रम के मानदंड की अधिकतम (ओवर ऑल)$z$ संबंधित रेज़ोल्वेंट सेट से) स्पष्ट रूप से स्वतंत्र है $c$।
वैसे भी, अगर $B$एक समरूपता है, कुछ अनुमान हैं:
धारण करता है $(z-A-cB)^{-1}=B^{-1}((z-A)B^{-1}-c)^{-1}$, और एक प्राप्त करने के लिए प्रश्न में वर्णित रिसोल्वेंट अनुमान का उपयोग कर सकता है $$\|R_{A+cB}(z)\|\le\|B^{-1}\|\frac1{|c|-\|(z-A)B^{-1}\|}.$$ यह एक अनुमान देता है अगर $|c|$ की तुलना में बड़ा है $|z|\|B^{-1}\|$।
अगर $|z|$ की तुलना में बड़ा है $|c|\|B\|$प्रश्न से अनुमान का उपयोग किया जा सकता है।
यदि न तो मामला है, तो ऊपर बताए अनुसार अच्छा अनुमान लगाने की आवश्यकता नहीं है ($B=I$) का है।