समद्विबाहु जाल में Collinearity

Question

बता दें कि ABCD एक समद्विबाहु आघात है $AB||CD$, $AB=12$, $CD=8$ तथा $m(\angle ABC)=60$। के समानांतर$AC$ के माध्यम से $B$ चौराहों $CD$ में है $P$, $Q$ का मध्य बिंदु है $AB$ तथा $G$ चालू है $BC$ ऐसा है कि $BG=\frac{BC}3$।

समस्या मुझे यह साबित करने के लिए कहती है $m(\angle ADC)=120$, जो सरल है क्योंकि ट्रैपेज़ समद्विबाहु है, और वह बिंदु है $P$, $G$ तथा $Q$मिलीभगत है, जिसे मैं समझ नहीं पा रहा हूं। मैंने इस स्थिति का प्रतिनिधित्व करने के लिए निम्नलिखित आंकड़ा बनाया है:

मैंने के मूल्यों की गणना की है $BG$ तथा $QG$ उम्मीद है कि शायद कोण $QGB$इसका अच्छा मूल्य है (क्योंकि यह आकृति की तरह है कि यह 90 डिग्री है), लेकिन ऐसा नहीं लगता है। एकमात्र समाधान जिसे मैं निर्देशांक का उपयोग करके देख सकता हूं, लेकिन यह काफी थकाऊ लगता है, इसके अलावा मैं यहां इसका उपयोग करने वाला नहीं हूं।

मैंने बिंदु जी 'को भी ईसा पूर्व के मध्य के रूप में माना, इस मामले में क्यूजी और पीजी दोनों एक त्रिकोण के मध्यमान होंगे। हालांकि यह मुझे कहीं भी नहीं मिलता है। कोई राय? धन्यवाद!

Answer 1

चलो $E$ के प्रतिच्छेदन बिंदु हो $CA$ साथ से $PQ$।

इसके अलावा, चलो $F$ के प्रतिच्छेदन बिंदु हो $PE$ साथ से $BC$।

फिर, हम देखते हैं कि $AE=PB$।

जबसे $\triangle{FPB}$ तथा $\triangle{FEC}$ हमारे समान हैं, हमारे पास हैं $$FB:FC=PB:EC=PB:2PB=1:2$$ जिससे हम वो देखते हैं $F=G$।

तो, तीन अंक $P, G$ तथा $Q$ मिलीभगत है।