समतुल्यता प्रमेय दो आयाम में

Question

अगर $\alpha\in \mathbb R$ एक तर्कहीन है, फिर $\{ \langle k\alpha \rangle \}_{k \ge 1}$ में घना है $[0,1]$, कहाँ पे $\langle x \rangle$ के आंशिक भाग को निरूपित करते हैं $x$। इसके अलावा,$\{ \langle k\alpha \rangle \}_{k \ge 1}$ में समतुल्य है $[0,1]$, जिसका मतलब है कि के लिए $0 \le a < b \le 1$, $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\# \{ 1\le k \le n: a \le \langle k \alpha \rangle \le b \} }{n} = b-a. $$

क्या परिणाम उच्च आयाम के लिए है?

लश्कर $\alpha,\beta\in \mathbb R$ दो तर्कहीनताएँ ऐसी हैं $1,\alpha,\beta$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं $\mathbb{Q}$। यह कैसे साबित किया जाए$\{(\langle k\alpha \rangle, \langle k\beta \rangle)\}_{k \ge 1}$ में घना है $[0,1]^2$ और में समान है $[0,1]^2$?

Answer 1

वेइल की कसौटी के सामान्यीकरण के रूप में, $\{u_k\}_{k\geqslant 1}$ में समतुल्य है $[0,1]^2$ यदि और केवल यदि $$ \forall \ell\in\mathbb{Z}^2\setminus\{0,0\},\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{2i\pi\ell\cdot u_k}=0 $$ लेकिन सभी के लिए $\ell\in\mathbb{Z}^2\setminus\{0,0\}$, हमारे पास है $$ \sum_{k=0}^{n-1}e^{2i\pi\ell\cdot(\langle k\alpha\rangle,\langle k\beta\rangle)}=\sum_{k=0}^{n-1}e^{2i\pi\ell_1\langle k\alpha\rangle}e^{2i\pi\ell_2\langle k\beta\rangle}=\sum_{k=0}^{n-1}\left(e^{2i\pi\ell_1\alpha+2i\pi\ell_2\beta}\right)^k $$ इस प्रकार $$ \left|\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{2i\pi\ell\cdot(\langle k\alpha\rangle,\langle k\beta\rangle)}\right|\leqslant\frac{2}{n|1-e^{2i\pi\ell_1\alpha+2i\pi\ell_2\beta}|}\underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}0 $$ चूंकि $\ell_1\alpha+\ell_2\beta\notin\mathbb{Z}$ जबसे $1$, $\alpha$ तथा $\beta$रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। घनत्व के रूप में, यह इस तथ्य से है कि$\alpha\mathbb{Z}+\mathbb{Z}$ तथा $\beta\mathbb{Z}+\mathbb{Z}$ में सघन हैं $\mathbb{R}$ जबसे $\alpha,\beta\notin\mathbb{Q}$