संख्यात्मक समोच्च अभिन्न

Question

मैं निश्चित के लिए डबल अभिन्न गणना करने की कोशिश कर रहा हूँ $m,z>0$:

  (2Pi I)^{-1} Integrate[(Gamma[y/2] Sqrt[Gamma[3 - y]/Gamma[y]])/
  Gamma[(3 - y)/2] z^(3 - y)
   (Exp[-m x] - 1) x^(y - 3)/x, {x, 0, ∞},{y, 
  3/2 - I ∞, 3/2 + I ∞}]

अभिन्न पर $x$ विश्लेषणात्मक रूप से किया जा सकता है, और परिणाम उत्पाद पर निर्भर करता है $mz$, इसलिए प्रभावी रूप से सिर्फ एक पैरामीटर है। $x$ अभिन्न को दो क्षेत्रों में विभाजित करने की आवश्यकता है जिन पर मुझे संदेह है, और एक क्षेत्र में समोच्च का $y$अभिन्न को विकृत करने की आवश्यकता होगी ताकि यह अभिसरण बना रहे। के बाद से$y$ अभिन्न में जटिल शाखा कटौती शामिल है, मैं इसे एक श्रेणी के लिए संख्यात्मक रूप से करने में सक्षम होना चाहता था $mz$, परिशुद्धता के कम से कम कुछ अंक प्राप्त करने के लिए। मुझे संख्यात्मक रूप से स्थिर परिणाम प्राप्त करने में कठिनाई हो रही है।

Answer 1

मुझे नहीं लगता कि यह अभिन्न रूपांतरित करता है: बस देख रहा है $x$-संवाद,

Assuming[m > 0 && z > 0 && Element[q, Reals], 
  Integrate[((E^(-m*x)-1)*x^(y-4)*z^(3-y)*Gamma[y/2]*
            Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2] /.
            y->3/2+I*q,
            {x, 0, ∞}]]

(*    diverges    *)

यह केवल अगर लगता है कि अभिसरण है $\text{Re}(y)$ अंतराल में है $[2,3]$:

Assuming[m > 0 && z > 0,
  Integrate[((E^(-m*x)-1)*x^(y-4)*z^(3-y)*Gamma[y/2]*
            Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2],
            {x, 0, ∞}]]

(*    (m^(3-y)*z^(3-y)*Gamma[y-3]*Gamma[y/2]*Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2]
      if 2 < Re[y] < 3                                                                  *)

इस बाद के परिणाम का उपयोग करना:

f[m_, z_, y_] = 
  Assuming[m > 0 && z > 0 && 2 < Re[y] < 3, 
    Integrate[((E^(-m*x)-1)*x^(y-4)*z^(3-y)*Gamma[y/2]*Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2],
              {x, 0, ∞}]]

(*    ((m*z)^(3-y)*Gamma[y-3]*Gamma[y/2]*Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2]    *)

हम वांछित अभिन्न को परिभाषित कर सकते हैं

F[mz_?NumericQ, Ry_?NumericQ] := 
  2*I*NIntegrate[Re[f[mz, 1, Ry + I t]], {t, 0, ∞}]

कुछ समरूपताओं का उपयोग करना f: यह केवल उत्पाद पर निर्भर करता है$m\cdot z$, पर नहीं $m$ तथा $z$व्यक्तिगत रूप से; यह सममित है$t$ इसलिए हम अभिन्न को प्रतिबंधित कर सकते हैं $[0,∞)$(लेकिन इसे दो बार लें); और परिणाम विशुद्ध रूप से काल्पनिक होगा इसलिए हम केवल इंटीग्रांड के वास्तविक हिस्से को एकीकृत करते हैं।

अब हम साजिश कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, परिणाम के लिए Ry = Re[y] = 5/2: (काल्पनिक भाग की साजिश)

Plot[F[mz, 5/2]/I, {mz, 0, 10}]

हम साहसी हो सकते हैं और Ry = Re[y] = 3/2विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा निर्धारित किए जा सकते हैं :

Plot[F[mz, 5/2]/I, {mz, 0, 10}]