सेट का स्केच कैसे दिया जाए

Question

मुझे इस सेट का एक स्केच देने के लिए कहा गया है: $K = \{(x,y)\in\mathbb R^2: 13x^2-10xy+13y^2=72\}$और फिर उन बिंदुओं को दें जिनके लिए मूल से दूरी अधिकतम है / अधिकतम होगी। क्रिप्या मेरि सहायता करे। मुझे नहीं पता कि इसे कैसे हल किया जाए। अग्रिम में धन्यवाद

Answer 1

दिए गए संबंध का विश्लेषण करें

• इसके बारे में सममित है $x=y$ इंटरचेंजिंग के रूप में $x$ तथा $y$ एक ही समीकरण उपज
• इसके बारे में सममित है $x+y=0$ जगह $y$ द्वारा $-x$ तथा $x$ द्वारा $-y$ एक ही समीकरण उपज।
• यह 2-डिग्री समीकरण है $x$ तथा $y$। तो यह एक शंकु होना चाहिए।
• यह एक चक्र नहीं हो सकता जो गुणांक का गुणांक हो $xy$ गैर शून्य है
• यह एक परवलय नहीं हो सकता क्योंकि एक परवलय में समरूपता की केवल एक धुरी होती है जबकि वक्र में पहले से ही दो होते हैं।
• के गुणांक $x^2$ तथा $y^2$एक ही संकेत के हैं। तो यह एक हाइपरबोला भी नहीं हो सकता।
• तो समीकरण को एक दीर्घवृत्त का प्रतिनिधित्व करना चाहिए, कुल्हाड़ियों के साथ $x=y$ तथा $x+y=0$। इसलिए केंद्र में है$(0,0)$

तो आपको इसके केंद्र से एक दीर्घवृत्त पर एक बिंदु की अधिकतम और न्यूनतम दूरी खोजने की आवश्यकता है। जाहिर है कि अक्षों के साथ अंक होंगे। इसलिए दिए गए समीकरण को हल करें$x=y$ तथा $x+y=0$अंक पाने के लिए। उनमें से एक अधिकतम दूरी का प्रतिनिधित्व करेगा और दूसरा न्यूनतम दूरी का प्रतिनिधित्व करेगा। बाकी का काम पाठक पर छोड़ दिया जाता है।

अंत में, यह कैसे दीर्घवृत्त जैसा दिखता है

Answer 2

लश्कर $x=r\cos t, y=r \sin t$, इसलिए $$r^2(t)=\frac{72}{13-10 \sin t \cos t}=\frac{144}{26-10 \sin 2t}.$$ इसलिए $$r^2(t)_{min}=r^2(t=3\pi/4)=\frac{144}{36},~r^2(t)_{max}=r^2(t=\pi/4)=\frac{144}{16}$$ $r_{min}=2, r_{max}=3$, ये एक दीर्घवृत्त के अर्ध-नाबालिग और अर्ध-प्रमुख कुल्हाड़ियों हैं जो एक कोण पर झुके हुए हैं $3\pi/4$ तथा $\pi/4$ एक्स-एक्सिस के साथ।

Answer 3

समीकरण का रूप आपको इंगित करना चाहिए कि यह कुल्हाड़ियों के साथ एक दीर्घवृत्त है $45^\circ$मानक कुल्हाड़ियों से घुमाया। जैसे, LHS के साथ फिर से लिखा जा सकता है$(x+y)^2$ तथा $(x-y)^2$: $$9(x-y)^2+4(x+y)^2=72$$ $$\frac{(x-y)^2}8+\frac{(x+y)^2}{18}=1$$ इसलिए मूल से निकटतम और सबसे दूर के बिंदु दीर्घवृत्त के कोने से मेल खाते हैं और फॉर्म के निर्देशांक हैं $(x,\pm x)$; आपको पता होना चाहिए कि अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु कुल्हाड़ियों की लंबाई है$3$ तथा $2$ क्रमशः, अर्ध-प्रमुख अक्ष के समानांतर $x=y$। वहां से आपको स्केच बनाने में सक्षम होना चाहिए।