सेट परिभाषाएँ खोलें
मैंने अपने दूसरे सेमेस्टर में एक वास्तविक विश्लेषण पाठ्यक्रम लिया। हमने बेबी रुडिन से मीट्रिक रिक्त स्थान के बारे में अध्ययन किया। इसमें यह स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया था कि मेट्रिक रिक्त स्थान जो कि एक सेट खुला है यदि इसके अंदर हर बिंदु के लिए हम उस बिंदु का एक पड़ोस पा सकते हैं जो उस सेट के अंदर पूरी तरह से निहित है।
अब अपने चौथे सेमेस्टर में, मैं परिचयात्मक टोपोलॉजी में एक पाठ्यक्रम ले रहा हूं। हम Munkres का अनुसरण कर रहे हैं। पुस्तक में, इसके दिए कि अगर एक सबसेट$U$ सेट की टोपोलॉजी के अंतर्गत आता है $X$, तब फिर $U$ में खुला है $X$।
मैं वास्तव में दोनों के बीच उलझन में हूं क्योंकि उनका उपयोग परस्पर किया जा रहा है। क्या कोई यह बता सकता है कि दोनों परिभाषाएँ समान हैं या नहीं?
जवाब
एक मीट्रिक स्थान में, एक सेट खुला होता है यदि यह (अंतर्निहित) टोपोलॉजी का सदस्य होता है जिसमें आपके द्वारा किए गए पड़ोस के माध्यम से वर्णित सभी सेट शामिल होते हैं। टोपोलॉजी (खुले सेट के सेट के रूप में) का स्पष्ट रूप से उल्लेख नहीं किया गया है, लेकिन यह वहां है।
एक मनमाना टोपोलॉजिकल स्पेस में बराबर धारणा एक आधार द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी की है: एक आधार टोपोलॉजी के तत्वों का एक सेट है, जिसमें कोई तत्व दिया गया है $U$ टोपोलॉजी और कोई भी $x\in U$, वहाँ मौजूद है $B$ इस तरह के आधार में $x\in B\subseteq U$। एक मीट्रिक स्पेस के लिए दिया गया आधार सभी खुली गेंदों का सेट है।
मीट्रिक रिक्त स्थान का अध्ययन करने से खुले सेटों द्वारा निभाई गई मौलिक भूमिका का एहसास होता है (जैसा कि मूल पोस्ट में परिभाषित किया गया है)।
यह परिणाम दिखा रहा है कि कई अन्य महत्वपूर्ण धारणाएँ अकेले खुले सेटों (मीट्रिक को शामिल नहीं करने) के संदर्भ में परिभाषित की जा सकती हैं।
उदाहरण के लिए: एक फ़ंक्शन निरंतर है यदि हर खुले सेट का उलटा चित्र खुला है; एक अनुक्रम एक बिंदु पर परिवर्तित होता है$a$iff हर ओपन सेट युक्त$a$ अंत में अनुक्रम के सभी बिंदु शामिल हैं।
इससे एक को संदेह होता है कि मीट्रिक डिस्पोजेबल है, अर्थात यदि कोई जानता है कि कौन से सेट खुले हैं और कुछ नहीं है, तो कोई भी सिद्धांत के बड़े हिस्से को बिना विकसित किए विकसित कर सकता है।
यह एक टोपोलॉजी की परिभाषा के पीछे का विचार है, जहां, किसी भी मीट्रिक को अनदेखा करते हुए, कोई भी खुले सेट को कॉल करने के लिए सेट का संग्रह पोस्ट करता है।