Subobject Classifier से Subobject Poset पुनर्प्राप्त करना

Question

टॉपोस सिद्धांत में, सबोबिज क्लासिफायर की भूमिका को फिर से बनाने का एक तरीका $\Omega$ सबऑब्जेक्ट फंक्टर का प्रतिनिधित्व करने वाली वस्तु है।

Nlab (और सभी स्रोतों को मैंने googling के माध्यम से पाया है) को देखें $\text{Sub}(-)$ से एक फ़नकार के रूप में $\mathcal{E}$ सेवा मेरे $\mathsf{Set}$। हालाँकि हम जानते हैं कि$\text{Sub}(X)$हमेशा एक पोज़ होता है (वास्तव में एक टॉपोस में यह हमेशा एक विषम बीजगणित होता है)। जबसे$\Omega$खुद भी एक विषम बीजगणित है, यह महसूस करता है कि हमें इस तरह की स्थिति को ठीक करने में सक्षम होना चाहिए$\text{Sub}(X)$ केवल इसी विशेषता कार्यों को देखकर $\chi_A : X \to \Omega$।

में $\mathsf{Set}$ यह सहज रूप से स्पष्ट है कि यह कैसे करना है: सबोबैक्ट्स पर स्थिति संरचना ठीक है, जो कि विशेष प्रकार के कार्यों के लिए बिंदुवार क्रम से ठीक होती है $\chi_A \leq \chi_B$। ऐसा लगता है कि यह एक मनमाने ढंग से टॉपोस में काम करना चाहिए, लेकिन मैं एक प्राकृतिक श्रेणीबद्ध वाक्यांश को खोजने के लिए संघर्ष कर रहा हूं।

अग्रिम धन्यवाद ^ _ ^

Answer 1

हम आंशिक आदेश को परिभाषित कर सकते हैं $\le$ पर $\operatorname{Hom}(U, \Omega)$ कहने से $f \le g$ अगर और केवल अगर $(f \rightarrow g) = \operatorname{true} \circ ()$ कहां है $\operatorname{true} : 1 \to \Omega$ सबोबिज क्लासिफायर की परिभाषा से आता है और $() : U \to 1$ की सार्वभौमिक संपत्ति से अद्वितीय रूपवाद है $1$अंतिम वस्तु के रूप में; तथा${\rightarrow} : \Omega \times \Omega \to \Omega$ की संरचना से "सापेक्ष पूरक" ऑपरेटर है $\Omega$ टोपोस की एक हेयिंग बीजगणित वस्तु के रूप में।

फिर, सबोबिज के लिए $A, B \in \operatorname{Sub}(U)$, हमारे पास वह है $A \subseteq B$ अगर और केवल अगर $\chi_A \le \chi_B$।

Answer 2

यह थोड़ा अप्रत्यक्ष है लेकिन यह काम करता है। योनेदा लेम्मा द्वारा सबोबिज पर हर प्राकृतिक ऑपरेशन पर एक ऑपरेशन के अनुरूप है$\Omega$। विशेष रूप से चौराहों और संघ (उत्पाद और उत्पाद) उप-विषयों के दो संचालन के अनुरूप हैं$\cap, \cup : \Omega \times \Omega \to \Omega$ बना रहा है $\Omega$एक आंतरिक जाली। इनमें से किसी भी ऑपरेशन का उपयोग ऑर्डरिंग को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है: हमारे पास$a \le b$ अगर $a \cup b = b$ अगर $a \cap b = a$।