थोड़ा ओ का अंतरविरोधी
यह सवाल पहले ही पूछा जा चुका है, लेकिन मुझे जो जवाब मिला, उनमें से गैर-जवाब सही / पर्याप्त थे।
के लिये $x$ शून्य के पास और $n>1$, का प्रतिपक्षी है $o(x^n)$ के बराबर $o( x^{n+1} )$ और हम इसे कैसे साबित करते हैं?
थोड़ा $o$ की तरह परिभाषित किया गया है:
$f$ है $o( g )$ शून्य के पास अगर और केवल अगर कोई फ़ंक्शन है $u$ जब शून्य हो जाता है $x$ शून्य और संतुष्ट के पास $f = u g,$ या किसी के लिए $\epsilon >0$, कुछ मौजूद है $a>0$ ऐसा है कि $∣ f(x)∣ \leq \epsilon |g(x)|$ जब कभी $0< |x| <a$
मैंने दोनों परिभाषाओं का उपयोग किया, लेकिन कहीं भी नहीं मिल सका, भागों द्वारा एकीकरण से भी मदद नहीं मिली, मुझे पता है कि यह व्युत्पन्न के लिए सही नहीं है: व्युत्पन्न $o(x^n)$ के बराबर $o( x^{n-1} )$ लेकिन मैं एकीकरण के बारे में निश्चित नहीं हूं।
जवाब
हां, इससे कोई परेशानी नहीं है, मुख्य बिंदु यह है कि एकीकरण असमानताओं को सुरक्षित रखता है (जो भेदभाव के लिए बहुत गलत है); वह है, अगर$f(x) \le g(x)$ फिर $\int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b g(x) \, dx$।
अधिक औपचारिक रूप से, यदि $f(x) = o(|x|^n)$, तो परिभाषा के अनुसार हम किसी के लिए भी है $\epsilon > 0$ वहां मौजूद $\delta > 0$ ऐसा है कि अगर $0 < |x| < \delta$ फिर $|f(x)| < \epsilon |x^n|$। परिभाषित
$$F(x) = \int_0^x f(t) \, dt.$$
फिर किसी के लिए $\epsilon > 0$ वहां मौजूद $\delta > 0$ ऐसा है कि अगर $0 < |x| < \delta$ फिर $|f(x)| < \epsilon (n+1) |x^n|$, इसलिए ऐसा है
$$|F(x)| = \left| \int_0^x f(t) \, dt \right| \le \int_0^x |f(t)| \, dt \le \int_0^x \varepsilon (n+1) |t|^n \, dt = \varepsilon |x|^{n+1}.$$
इसलिए $F(x) = o(|x|^{n+1})$। हमें वास्तव में सम्मिलित करने की आवश्यकता नहीं थी$n+1$ प्रीफ़ैक्टर, लेकिन अंतिम बाउंड बनाने के लिए अच्छा है कि वास्तव में यह होना चाहिए।