तीन हताश

Question

तीन डेस्परडोस ए, बी और सी रूसी रूलेट खेलते हैं जिसमें वे एक बुलेट से भरी छह सिलेंडर रिवाल्वर के ट्रिगर को खींचते हैं। जब तक घातक गोली नहीं गिरी हो, तब तक हर बार पत्रिका को नए सिलेंडर को आग के लिए बेतरतीब ढंग से चुनने के लिए छोड़ दिया जाता है। डेस्परडोस ए, बी, सी, ए, बी, सी, के अनुसार शूट करते हैं। । .. तीन हताशों में से प्रत्येक के लिए निर्धारित करें कि इस हताश खुद को गोली मारने वाला होगा।

मुझे उस संभावना की गणना करनी होगी जो ए की मृत्यु हो जाती है $i$वें परीक्षण, इसलिए बी और सी कभी नहीं मरते हैं। मैं मोटा$1$वें परीक्षण में किसी की मृत्यु नहीं होती है $(\frac{5}{6})^3$। मैं मोटा$i$वें परीक्षण कोई नहीं मरता है जो हमें होना चाहिए $(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$, इसलिये

$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}[(A\cap B_1)\cup...\cup(A\cap B_k)]=\mathbb{P}(A\cap B_1)+...+\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A|B_k)$

और तबसे $A\perp B_k\Rightarrow \mathbb{P}(A)=\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A)=(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}+...+(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}=(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=k(\frac{5}{6})^3$

कहां है $A=[$एक मरता नहीं$]$। इस प्रकार ए को मरना चाहिए$i+1$वें संभावना के साथ परीक्षण $\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$।

दुर्भाग्य से परिणाम है $\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{5}{6})^{3k}$। क्यों?

Answer 1

आपका अंकन समस्या को जटिल बना रहा है। बंदूक पर पहले फायर होने की संभावना$i$ट्रिगर की -th पुलिंग है $(5/6)^{i- 1}\cdot(1/6)$... अर्थात्, संभावना है कि पहले $i-1$ ट्रिगर पुल आग नहीं है और फिर $i$-एक करता है। $A$ मर जाता है अगर यह पहली, चौथी, सातवीं, आदि पर होता है .... ट्रिगर का खींचना: यदि $i=3k+1$ कुछ प्राकृतिक के लिए $k$। इसलिए$$ P(A)=\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^{3k}=\frac{36}{91}. $$ पूर्णता के लिए, तब से $B$ तथा $C$ की आवश्यकता है $i=3k+2$ तथा $i=3k+3$ क्रमशः, $$ P(B)=\frac{5}{6}P(A)=\frac{30}{91} $$ तथा $$ P(C)=\frac{25}{36}P(A)=\frac{25}{91}. $$

Answer 2

आप इस समस्या को बिना किसी फैंसी श्रृंखला योग के हल कर सकते हैं। आप जानते हैं कि:

$$ P(A) = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} P(C)$$

छह में से एक समय, $A$एकदम से हार जाओगे। अन्य में$\frac{5}{6}$ मामलों की, $A$ उसी स्थिति में होगा $C$ खेल की शुरुआत में है।

अगला आपके पास है:

$$P(B) = \frac{5}{6} P(A)$$

यदि A शुरुआत में नहीं हारता है, $B$ संभावना के साथ खो देंगे $P(A)$।

बेशक आपके पास भी है:

$$P(A) + P(B) + P(C) = 1 \; ,$$

चूंकि किसी को खोना है। आपके पास 3 समीकरण और 3 अज्ञात हैं।