टोपोलॉजी isomorphism तक

Question

लश्कर $A$ एक सेट हो, $\mid A \mid$=$\aleph_0$ (मान लें कि ए$ \subseteq$$\ mathbb {R} $ ),

और $ \ chi $ = $ \ {\ tau \ subseteq दें$$P(A)$$\ मध्य$$($ए,$\tau$$) $ एक हॉसडॉर्फ स्पेस है, $ \ mid \ tau \ mid $ = $ \ aleph$$\}$।
($P(A)$ का पावर सेट है $A$)

का "मूल्य" क्या है$\mid \chi \mid$ $?$

सवाल मूल रूप से कितने हॉसडॉर्फ टोपोलॉजी है $\tau$ ($\mid \tau \mid=\aleph$) (आइसोमोर्फिज्म तक) एक सेट पर मौजूद हैं $A$, $\mid A \mid=\aleph_0$।

अगर मैं गलत हूं तो मुझे सुधारो, लेकिन मुझे पता है कि कम से कम एक टोपोलॉजी है जैसा कि मैंने पहले उल्लेख किया है:

उदाहरण के लिए:

सेट है$\mathbb{Q}$ और टोपोलॉजी $\tau$ पर यूक्लिडियन मीट्रिक का उपक्षेत्र टोपोलॉजी है $\mathbb{R}$(इसके हॉसडॉर्फ)।

जाहिर है$\mid \mathbb{Q} \mid$=$\aleph_0$, और हम जानते हैं कि आधार $\tau$ में $\mathbb{R}$ सभी खुले अंतराल है, इसलिए $\mid \tau \mid$ पर $\mathbb{Q}$ है $\aleph$।

इसलिये$\chi \neq \emptyset$।

क्या है$\mid \chi \mid$?

Answer 1

सबसे ज्यादा हैं $\kappa:=2^{2^{\aleph_0}}$ टोपोलॉजी पर $A$। इसके अलावा, कई गैर-समतुल्य मुक्त अल्ट्राफिल्टर हैं$A$, और उनमें से प्रत्येक वृद्धि देता है कि एक पारस्परिक रूप से गैर-होमोमोर्फिक हौसडॉर्फ टोपोलॉजी पर $A$(एक अद्वितीय गैर-पृथक बिंदु के पड़ोस के सेट के रूप में इसका उपयोग करके)। तो वहाँ हैं$\kappa$ कई हॉसडॉर्फ टोपोलॉजी पर $A$(सभी आकार के दायरे)। जवाब इस प्रकार के शक्ति के आकार का है$\Bbb R$।