उत्पन्न सिग्मा अल्जेब्रा
मैं एक गणितज्ञ नहीं हूं, बल्कि मैं चलते-फिरते विषयों को उठाता हूं, जब मुझे उस विषय के लिए कुछ चाहिए होता है जो मैं दिए गए समय में पढ़ रहा होता हूं। इसलिए मुझे खेद है कि अगर यह आप में से अधिकांश के लिए तुच्छ है और किसी भी वैचारिक गलतियों के लिए माफी माँगता हूँ जो मैं वर्णन में कर सकता हूँ - मैं यथासंभव सटीक होने की कोशिश करूँगा।
फिलहाल, मैं इस कोर्स से प्रोबेबिलिटी थ्योरी का अध्ययन कर रहा हूं: https://www.youtube.com/playlist?list=PL5B3KLQNAC5jT6yjV1199ji1zUy1YUp6P , [स्टोकेस्टिक कैलकुलस फ़ाइनेंस फ़ॉर (वॉल्यूम II - एस। श्रीवे) को समझने के उद्देश्यों के लिए], और मैंने सिग्मा अल्जेब्रा पर ठोकर खाई।
जबकि मैं अवधारणा को समझता हूं; यदि हमारे पास एक सेट है जो ओमेगा के उप-समूहों का एक संग्रह है (अर्थात यदि हमारे पास घटनाओं का एक संग्रह है) एफ द्वारा निरूपित किया गया है, तो एफ एक सिग्मा-बीजगणित है यदि यह निम्नलिखित तीन स्थितियों को पूरा करता है;
- ओमेगा एफ में है,
- F, खाद के नीचे बंद है,
- F को गणनीय यूनियनों के तहत बंद किया जाता है
अब तक बहुत अच्छा है और मैं उन गुणों को भी समझता हूं जो परिभाषा से प्राप्त होते हैं और साथ ही वे कैसे व्युत्पन्न होते हैं। इसके अलावा मुझे पता है कि हमारे पास तुच्छ सिग्मा बीजगणित है, ओमेगा पर सबसे छोटा सिग्मा बीजगणित और असतत सिग्मा बीजगणित, जो ओमेगा का शक्ति सेट है, ओमेगा पर सबसे बड़ा सिग्मा बीजगणित है।
मेरी समस्या उत्पन्न सिग्मा अलजेब्रा के साथ है। मुझे परिभाषा समझ में आती है; आज्ञा देना एक मनमाना संग्रह ओमेगा के सबसेट का संग्रह है, तो सिग्मा (ए) उत्पन्न सिग्मा बीजगणित है, ए से उत्पन्न और सबसे छोटा सिग्मा बीजगणित है जिसमें ए। आगे है, हम सभी सिग्मा बीजगणितों को ए से जोड़कर सबसे छोटा सिग्मा बीजगणित पा सकते हैं। के रूप में, सिग्मा बीजगणित के प्रतिच्छेदन भी एक सिग्मा बीजगणित है।
अंतिम भाग वह है जिसे मैं नहीं समझता और मुझे भ्रमित करता है। मुझे लगता है कि हमारे पास ओमेगा का पावर सेट है, जिसमें निश्चित रूप से संग्रह ए है - लेकिन वास्तव में हम सभी सिग्मा बीजगणितों को जोड़कर क्या मतलब रखते हैं, जिसमें ए वाला सबसे छोटा है? क्या इसका मतलब यह है कि अगर हमारे पास सिग्मा बीजगणित है जिसमें A और उपसमूह का एक और संग्रह है, B (जो A युक्त सिग्मा बीजगणित है, लेकिन मुझे लगता है कि यह सबसे छोटा नहीं है) और इसे ओमेगा के पावर सेट के साथ मिलाएं, हम सिग्मा (ए) उत्पन्न करते हैं, जो वास्तव में उन प्रश्नों का उत्तर देने के लिए सबसे छोटा और अधिक परिष्कृत है जो हमें अपनी समस्या में चाहिए? लेकिन, वास्तव में बड़ा सिग्मा बीजगणित (संग्रह ए और बी पर) कहां से आता है?
यदि कोई और अधिक सहज व्याख्या प्रदान कर सकता है या बेहतर तरीके से एक उदाहरण दे सकता है (परिमित, एक मर रोल की तरह), तो मैं बहुत आभारी रहूंगा।
इसे पढ़ने में आपके समय के लिए बहुत धन्यवाद! :)
जवाब
बिंदु यह नहीं है $\sigma$-algebra $B$ युक्त $A$ और के अधिकार के साथ इसे काटना $\Omega$। (ध्यान दें कि यदि$B$है किसी भी के सबसेट का संग्रह$\Omega$, तथा $P(\Omega)$ की शक्ति है $\Omega$, फिर $B\cap P(\Omega)=B$। तो के अधिकार के साथ intersecting$\Omega$ ज्यादा कुछ नहीं करता।) मुद्दा यह है कि अगर हमारे पास दो हैं $\sigma$-algebras $B_1$ तथा $B_2$ इसमें शामिल हैं $A$, फिर $B_1\cap B_2$ एक भी है $\sigma$-बैलिब्रज युक्त $A$(व्यायाम)। इसके अलावा,$B_1\cap B_2$ से छोटा होने जा रहा है $B_1$ तथा $B_2$ (जब तक एक की $B_1$ या $B_2$ अन्य शामिल हैं)।
इसलिए $\sigma(A)$इस विचार को अपने चरम पर ले जाता है: हम सभी को काट देते हैं $\sigma$-लगेब्रस युक्त $A$। प्रतीकों में, चलो$\mathscr{B}$ का सेट हो $\sigma$-लगेब्रस पर $\Omega$ इसमें शामिल हैं $A$। फिर$\sigma(A)=\bigcap_{B\in\mathscr{B}}B$। फिर$\sigma(A)$ एक है $\sigma$-बैलिब्रज युक्त $A$ (व्यायाम), और यदि $B$ एक है $\sigma$-बैलिब्रज युक्त $A$ फिर $\sigma(A)\subseteq B$परिभाषा से। तो यह कॉल करने के लिए समझ में आता है$\sigma(A)$ सबसे छोटा $\sigma$-बैलिब्रज युक्त $A$, या $\sigma$-विकास द्वारा उत्पन्न $A$।
अब आप पूछें कि ये बड़े कहां हैं $\sigma$-एल्जब्रास से आते हैं, और यह बहुत कुछ विशेष उदाहरण पर निर्भर करता है। सामान्य तौर पर, संग्रह$\mathscr{B}$ऊपर काफी जटिल हो सकता है। सबसे सामान्य रूप से हम कह सकते हैं कि हमेशा कम से कम एक है$\sigma$में बीजगणित $\mathscr{B}$, अर्थात्, की शक्तियां $\Omega$।
का निर्माण $\sigma(A)$ ऊपर वर्णित परिभाषा के लिए अच्छा है, लेकिन व्यवहार में लाना मुश्किल है क्योंकि गणना करने में मुश्किल या कम से कम बहुत समय लग सकता है $\mathscr{B}$। किसी विशेष को दिया$A$, यदि कोई अधिक स्पष्ट विवरण प्राप्त करना चाहता है $\sigma(A)$फिर इसमें आम तौर पर सेट के परिवारों की गणना करना शामिल है जो किसी भी में होना चाहिए$\sigma$-बैलिब्रज युक्त $A$ जब तक आप एक ऐसे परिवार के साथ नहीं आते जो खुद एक है $\sigma$-algebra। वास्तव में, यदि आप एक संग्रह के साथ आ सकते हैं$B$ जो कि है $\sigma$-बैलिब्रज युक्त $A$ और किसी भी में निहित होना चाहिए $\sigma$-वृक्ष जिसमें समाहित हो $A$, तो यह इस प्रकार है $\sigma(A)=B$।
कब $\Omega$ परिमित है बल बल विचार थोड़ा अधिक उचित है क्योंकि आप बस बंद करना शुरू कर सकते हैं $A$ चौराहों और बस्तियों के नीचे जब तक आप एक बीजगणित प्राप्त नहीं करते हैं।
उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा और सभी एक बिंदुओं के संग्रह पर विचार करें $\{\{x\}: x \in \mathbb R\}$। इन सेटों में एक सिग्मा बीजगणित शक्ति सेट है। एक अन्य सभी काउंटेबल सेटों और उनके पूरक का परिवार है। कई अन्य भी हैं। अब ऐसे सेट लें जो इस तरह के सभी सिग्मा अलजेब्रा के लिए आम हैं। यह हमारे परिवार द्वारा उत्पन्न सिग्मा बीजगणित देता है। इस मामले में यह बिल्कुल सटीक सेट और उनके पूरक हैं। कारण: किसी भी सिग्मा बीजगणित में सिंगलटन में सभी गणनीय सेट शामिल होने चाहिए (क्योंकि वे सिंगलटेबल के काउंटेबल यूनियन हैं)। इसमें उनकी बस्तियां भी होनी चाहिए। इसलिए सबसे छोटे सिग्मा बीजगणित में सभी सिंगेलटन होते हैं, जो वास्तव में सभी गणनीय सेटों और उनके पूरक के परिवार हैं।